Многочлены над числовыми полями

МНОГОЧЛЕНЫ НАД ЧИСЛОВЫМИ ПОЛЯМИ
ЛЕКЦИЯ 9
Доцент Мартынова Т.А.

§ 1. Многочлены над полем комплексных чисел
Основными задачами этого раздела являются рассмотрение вопросов:
Основная теорема алгебры
Неприводимость многочленов над полем комплексных чисел (т.е. в кольце C[x])
Число корней произвольного многочлена с числовыми коэффициентами
Теорема Виета
Формулы для нахождения корней уравнений 2, 3 и 4 степени

3. Кубические уравнения
x3 + px + q = 0 (8) u + v = x0 (9) u v = – p / 3 (10)
Получаем формулу Кардано, выражающую корни уравнения (8) через его коэффициенты при помощи квадратных и кубических радикалов:
Т.к. кубический радикал имеет в поле С три значения, то формулы (14) дают три значения для u и три для v. Нельзя комбинировать любое значение u с любым значением v: для данного значения u следует брать лишь то из трех значений v, которое удовлетворяет условию (10).
(15)
(14)

3. Кубические уравнения
x3 + px + q = 0 (8) u + v = x0 (9) u v = – p / 3 (10)
Пусть u1 будет одно из трёх значений радикала u. Тогда два других u2 и u3 можно получить умножением соответственно на кубические корни из единицы:
Т.е. u2=u1e1 и u3=u1e2. Обозначим через v1 то значение радикала v, которое соответствует значению u1 радикала u по (10). Два других значения v, соответствующие u2 и u3 будут v2=v1e2, v3=v1e1.
В самом деле, ввиду e1e2=1 имеем: u2v2=u1e1v1e2=u1v1e1e2=u1v1=–p/3, аналогично u3v3=–p/3.

3. Кубические уравнения
x3 + px + q = 0 (8) u + v = x0 (9) u v = – p / 3 (10)
u2v2=–p/3, u2v2=–p/3, u3v3=–p/3.
Таким образом, все три корня уравнения (3) могут быть записаны следующим образом:
x1 = u1 + v1
x2 = u2 + v2 = u1e1 + v1e2
x3 = u3 + v3 = u1e2 + v1e1
Замечание. В случае, когда числа u1 и v1 являются действительными, подставляя в формулу (16) в выражения для x2 и x3 значения e1 и e2, получим явные формулы для нахождения x2 и x3 по известным u1 и v1:
(16)
(16´)

3. Кубические уравнения
z = x – a/3 (7) x3 + px + q = 0 (8)
Пример 3. Решить уравнение z3 + 3z2 – 3z – 14 = 0.
◘ Подстановка (7) z = x – 1 приводит к виду (8):
x3 – 6x – 9 = 0 (здесь p = –6, q = –9).
По формулам (14):
По формуле (16´) находим корни уравнения x3–6x–9=0:
Отсюда (т.к. z=x–1): ◙

3. Кубические уравнения
Пример 4. Решить уравнение x3 – 12x + 16 = 0.
◘ Здесь p = –12, q = 16.
По формулам (14) находим:
По формулам (16´) находим корни уравнения:
x1 = –4, x2 = x3 = 2
◙

3. Кубические уравнения
Пример 5. Решить: z3 – 9z2 + 21z – 5 = 0.
◘ Подставив в него z=x+3, получим: x3–6x+4=0, т.е. p=–6, q=4. По формулам (14) и (10) находим:
По формулам (16´) находим корни:
Отсюда:
◙

3. Кубические уравнения
x3 + px + q = 0 (8) u + v = x0 (9) u v = – p / 3 (10)
Напомним, что формула Кардано выражающая корни уравнения (8) через его коэффициенты при помощи квадратных и кубических радикалов имеет вид:
Понятно, что для выражения Δ =
Возможны три различных случая:

3. Кубические уравнения
1. Δ = 0, 2. Δ > 0, 3. Δ < 0.
1. Если Δ = 0, то при p≠0 и q≠0 имеем
А так как получаем одно значение
И соответствующее значение
Δ =

3. Кубические уравнения
Обращаясь к формулам (16), получаем x1= u1 + v1 = 3q/p, x2= x3= -3q/2p.
Таким образом, уравнение (8) при Δ = 0, p≠0 и q≠0 имеет три действительных корня, причем два из них равны между собой.
2. Если Δ > 0, то все корни уравнения (8) должны быть различными. Выясним, сколько из них будет действительными.
В выражении под знаком кубического корня находится действительное число. Следовательно, одно из значений u должно быть действительным. Пусть это будет u1. Тогда v1 будет также действительным.

3. Кубические уравнения
Таким образом при Δ>0 уравнение (8) имеет только один действительный корень, x1=u1+v1, а два остальные корня будут сопряженными чисто комплексными числами
3. Пусть Δ<0. Этот случай известен под названием неприводимого. Он примечателен тем, что u и v являются мнимыми (так как приходится извлекать корень третьей степени из мнимых чисел), а все три корня уравнения (8) будут действительными (различными).

3. Кубические уравнения
С помощью некоторых преобразований получаем
X1 = u1+v1 = 2|3√r |cosϕ/3,
X2 = u2+v2 = 2|3√r |cos(ϕ+2π)/3,
X3 = u3+v3 = 2|3√r |cos(ϕ+4π)/3,
Где cosϕ=-q/2r, sin ϕ = α/r , α - действительное число равное √-Δ и .
Итак, в случае Δ<0 уравнение (8) имеет три действительных корня

3. Кубические уравнения
Недостатком формулы Кордано является то, что часто рациональные корни она представляет в иррациональном виде. Например, нетрудно проверить, что число 2 является рациональным корнем уравнения x3 – x – 6 = 0. Так как для этого уравнения Δ>0, то 2 является единственным действительным корнем уравнения x3 – x – 6 = 0.
Однако по формулам Кордано действительный корень выражается иррациональным числом

4. Уравнения четвёртой степени
Дано уравнение четвёртой степени:
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 (17)
с произвольными комплексными коэффициентами.
Его решение сводится к нахождению какого-нибудь корня некоторого вспомогательного кубичного уравнения.
Перепишем его в виде: x4 + ax3 = – bx2 – cx – d.
К обеим частям прибавим выражение:
Получим:

4. Уравнения четвёртой степени
К обеим частям теперь прибавим:
Тогда:
Теперь число y подбирается так, чтобы квадратный трёхчлен относительно x в правой части уравнения (18) был полным квадратом, т.е. так, чтобы его дискриминант был равен 0.
Но тогда число y должно удовлетворить уравнению 3-й степени:
Полученное уравнение (19) называют кубической резольвентой уравнения (17) .
(18)
(19)

4. Уравнения четвёртой степени
Пусть y0 – корень уравнения (19).
Тогда (18) приводится к виду:
для некоторых чисел α и β.
Последнее уравнение
равносильно двум
квадратным уравнениям (20):
Решая (20), получим все четыре корня уравнения (17).
(19)
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0
(17)
(20)

4. Уравнения четвёртой степени
Пример 6. Решить: x4 – 2x3 + 2x2 + 4x – 8 = 0.
◘ Приведём к виду (18):
(21)

4. Уравнения четвёртой степени
Составляем кубическую резольвенту уравнения (21):
Непосредственно видно, что одним из корней последнего уравнения является число y0=2.
Подставляя это значения в равенство (21) получим уравнение:
Оно равносильно совокупности двух квадратных уравнений:
Решая эти уравнения получим все корни данного уравнения: ◙