Наибольшие и найменьшее значение функции

Содержание

Слайд 2

a

b

a

b

Предположим, что функция f
не имеет на отрезке [а; b] критических точек.

a b a b Предположим, что функция f не имеет на отрезке

Тогда она возрастает (рис. 1) или убывает (рис. 2) на этом отрезке.
Значит,
наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [а; b] — это значения в концах а и b.

функция возрастает

функция убывает

Слайд 3

a

b

a

b

Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; b] конечное число критических

a b a b Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а;
точек.
Наибольшее и наименьшее значения функция f может принимать в критических точках функции или в точках а и b.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Примеры

Слайд 4

Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0;

Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0;
4]

1.

Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.

Выбрать наименьшее из полученных значений.

1) y(0) = 0

2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

Слайд 5

Найдите наименьшее значение функции
y = x3 – 27x на отрезке [0;

Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0;
4]

1) y / = 3x2 – 27

2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)

3) y(0) = 0

Выполнение этапов решения можно изменить, как вам удобно.

Слайд 6

a

b

a

b

Предположим, что функция f
имеет на отрезке [а; b] одну точку экстремума.
Если

a b a b Предположим, что функция f имеет на отрезке [а;
это точка минимума, то в этой точке функция будет принимать наименьшее значение.
Если это точка максимума, то в этой точке функция будет принимать наибольшее значение.

Слайд 7

Найдите наименьшее значение функции
y = x3 – 27x на отрезке [0;

Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0;
4]

1) y / = 3x2 – 27

2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)

3)

Другой способ решения

min

Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума.
Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.

Этот способ будет удобно
вспомнить, когда вычисления значений функции в концах отрезка будет сложным.

Слайд 8

Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.

Выбрать наибольшее из полученных значений.

1)

Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений.
y(0) = 4

2) y / = 3x2 – 3 = 3(x2 – 1) = 3(x – 1)(x + 1)

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

Найдите наибольшее значение функции y = x3 – 3x + 4
на отрезке [– 2; 0]

2.

Слайд 9

Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.

Выбрать наименьшее из полученных значений.

1)

Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений.
y(1) = 1 – 2 + 1 + 3 = 3

y(4) = 43– 2 42 + 4 + 3 = 39

2) y / = 3x2 – 4x + 1=

y(1) = 3

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 2x2 + x +3
на отрезке [ 1; 4 ]

3.

3x2 – 4x + 1 = 0

D=16–4*3*1=4

Слайд 10

Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [ -3; 3 ]

4.

Найдем критические точки,

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ -3; 3 ] 4. Найдем
которые принадлежат заданному отрезку.

Выбрать наибольшее из
полученных значений.

y(-3) = 11

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

y(-3) = -25

Слайд 11

Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [ 1; 9 ]

5.

Найдем критические точки,

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ 1; 9 ] 5. Найдем
которые принадлежат заданному отрезку.

Выбрать наибольшее из
полученных значений.

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

Слайд 12

Найдите наименьшее значение функции
на отрезке [ 1; 9 ]

6.

Найдем критические точки,

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [ 1; 9 ] 6. Найдем
которые принадлежат заданному отрезку.

Выбрать наименьшее из
полученных значений.

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

Слайд 13

Найдите наименьшее значение функции
на отрезке [-10; 1 ]

7.

Найдем критические точки, которые

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [-10; 1 ] 7. Найдем критические
принадлежат заданному отрезку.

Выбрать наименьшее из
полученных значений.

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

Слайд 14

Найдите наименьшее значение функции
на отрезке [-10; 1 ]

7.

Найдем критические точки, которые

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [-10; 1 ] 7. Найдем критические
принадлежат заданному отрезку.

Выбрать наименьшее из
полученных значений.

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

Слайд 15

Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [ 1; 9 ]

8.

Найдем критические точки,

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ 1; 9 ] 8. Найдем
которые принадлежат заданному отрезку.

Выбрать наибольшее из
полученных значений.

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде

Слайд 16

Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [ 3; 10 ]

9.

Найдем критические точки,

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ 3; 10 ] 9. Найдем
которые принадлежат заданному отрезку.

Выбрать наибольшее из
полученных значений.

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

1). Первое число меньше 1, т.к. знаменатель e4 > 5.
2). Второе число – отрицательноe.
3). Значит, наибольшее число 1.

1

Слайд 17

Найдите наименьшее значение функции
на отрезке [ 1; 7 ]

10.

Найдем критические точки,

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [ 1; 7 ] 10. Найдем
которые принадлежат заданному отрезку.

Выбрать наименьшее из
полученных значений.

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

Наименьшее число – 4, т.к. первые два положительные.

1

Слайд 18

Найдите наибольшее значение функции
y = ln(x+5)5 – 5x на

Найдите наибольшее значение функции y = ln(x+5)5 – 5x на отрезке [-4,5;
отрезке [-4,5; 0]

11.

max

Наибольшее значение функция будет принимать в точке максимума.
Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.

y = 5ln(x+5) – 5x

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

3. Вычислить значения функции в критических точках
и на концах отрезка.

4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее.

0

Можно рассуждать иначе

Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде

Слайд 19

Найдите наибольшее значение функции
y = ln(11x) – 11x + 9 на

Найдите наибольшее значение функции y = ln(11x) – 11x + 9 на
отрезке

12.

max

Наибольшее значение функция будет принимать в точке максимума.
Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

0

Слайд 20

Найдите наименьшее значение функции
y = 2х2 – 5x + lnx –

Найдите наименьшее значение функции y = 2х2 – 5x + lnx –
3 на отрезке

13.

min

Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума.
Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

0

Слайд 21

Найдите наибольшее значение функции
y = 7cosx +16x – 2 на отрезке

14.

Найдите наибольшее значение функции y = 7cosx +16x – 2 на отрезке

Функция на всей области определения возрастает. Нетрудно догадаться, что у / > 0.
Тогда наибольшее значение функция будет иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0.

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наибольшее.

0

Слайд 22

Критических точек нет.
Тогда наибольшее значение функция будет принимать в одном из концов

Критических точек нет. Тогда наибольшее значение функция будет принимать в одном из
отрезка.

Можно было и раньше догадаться, что наибольшее значение будет именно в левом конце отрезка! Как?

Найдите наибольшее значение функции
y = 10sinx – x + 7 на отрезке

15.

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

0

Слайд 23

Функция на всей области определения убывает. Нетрудно догадаться, что у / <

Функция на всей области определения убывает. Нетрудно догадаться, что у / Тогда
0.
Тогда наименьшее значение функция будет иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0.

Найдите наименьшее значение функции
y = 5cosx – 6x + 4 на отрезке

16.

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

1

0

Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наименьшее.

Слайд 24

Найдите наибольшее значение функции
y = 12cosx + 6 x – 2

Найдите наибольшее значение функции y = 12cosx + 6 x – 2
+ 6 на отрезке

17.

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

Слайд 25

Найдите наибольшее значение функции
y = 12cosx + 6 x – 2

Найдите наибольшее значение функции y = 12cosx + 6 x – 2
+ 6 на отрезке

17.

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

Убедимся, что данная точка является точкой максимума на заданном промежутке.
Значит, наибольшее значение функция достигает именно в этой точке.
Тогда значения функции в концах отрезка можно не считать.

Можно рассуждать иначе

max

Слайд 26

Найдите наименьшее значение функции
y = 11 + – х – cosx

Найдите наименьшее значение функции y = 11 + – х – cosx
на отрезке

18.

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

Можно убедиться, что данная точка является точкой минимума на заданном промежутке.
Значит, наименьшее значение функция достигает именно в этой точке.
Тогда значения функции в концах отрезка можно не считать.

min

Слайд 27

Найдите наименьшее значение функции
y = 4tgx – 4x – 4

Найдите наименьшее значение функции y = 4tgx – 4x – 4 +
+ 5 на отрезке

19.

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

0

Имя файла: Наибольшие-и-найменьшее-значение-функции.pptx
Количество просмотров: 56
Количество скачиваний: 0