Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью. 10 класс

Проверка домашнего задания
Задача № 1
Отрезок МН пересекает некоторую плоскость в точке К. Через концы отрезка проведены прямые НР и МЕ, перпендикулярные плоскости и пересекающие ее в точках Р и Е. Найдите РЕ, если НР=4 см, НК=5 см, МЕ=12см.
ОТВЕТ: 12 см.
4
5
12

Задача № 2
Найдите синус, косинус угла А треугольника АВС с прямым углом С, если ВС=8 см, АВ=17 см.
Ответ:

Задача № 3
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а противолежащий угол равен d. Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через b и d.
Ответ:
90-d

Актуализация знаний учащегося

Сравните катет и гипотенузу прямоугольного треугольника. Что больше и почему?
Сформулируйте теорему Пифагора.
Назовите гипотенузу прямоугольного треугольника АВС.
Что называют синусом острого угла прямоугольного треугольника?
Назовите чему равен синус угла А в треугольнике АВС.
Что называют косинусом острого угла прямоугольного треугольника? Чему равен косинус В в треугольнике АВС?

Какую прямую называют перпендикуляром к плоскости?
Назовите перпендикуляр к плоскости, изображенный на рисунке:
Что принимают за расстояние от точки до плоскости?

Введение нового материала

Рассмотрим некоторую плоскость α и точку М, не лежащую на ней. Проведем через точку М несколько прямых, пересекающих плоскость α.
МО⊥α, МО-перпендикуляр
О - основание перпендикуляра
К
А
В
N
МК,МА,МВ, МN - наклонные
К, А, В, N – основания наклонных МК, МА, МВ, МN
AO=прαМА
Назовите проекцию МК на плоскость α.
Назовите проекцию МВ на плоскость α.
Назовите проекцию МN на плоскость α.
α

Свойства наклонных, выходящих из одной точки
1. Перпендикуляр всегда короче наклонной, если они проведены из одной точки.
2. Если наклонные равны, то равны и их проекции, и наоборот.
3. Большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.

Угол между прямой и плоскостью
МКЕ - угол между прямой МК и плоскостью α

Угол между наклонной и ее проекцией на плоскость является наименьшим из углов, которые образует наклонная с любой прямой, лежащей в этой плоскости.
М
К
Е
А
р
Определите вид треугольника МКЕ и треугольника МКА
Sin MKA=
Sin MKE=
Сравните ME МА
Sin MKE
Sin MKA

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
№ 163 (А)
Наклонная АМ, проведенная из точки А к данной плоскости, равна d. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой АМ и данной плоскостью равен 450?
2. № 165
Из точки А, удаленной от плоскости γ на расстояние d, проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом 300 к плоскости. Их проекции на плоскость γ образуют угол в 1200. Найдите ВС.

Подведение итогов

1. Что нового узнали на уроке?
М
О
А
2. Что такое наклонная?
Понравился ли тебе урок?
3. Что такое проекция прямой на плоскость?
Назови проекцию МА на плоскость α.
4. Какой угол называется углом между АМ и α?