Перпендикулярность прямой и плоскости

Две прямые называются перпендикулярными,
если угол между ними равен 90о
а
b
с
а ⊥ b
c ⊥ b
α

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости
α
а
а ⊥ α

Теорема 1
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к ней.
α
х

Теорема 2
α
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
M
с

Перпендикуляр и наклонная
М
А
В
Н
α
МА и МВ – наклонные
АН и ВН – проекции
наклонных
МН – перпендикуляр

Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости.
Перпендикуляр- кратчайшее расстояние от точки до плоскости.
Длина перпендикуляра называется расстоянием от точки до плоскости.

Задача 1. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если одна из них на 26см больше другой, а проекции наклонных равны 12см и 40см.

Задача 2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если наклонные относятся как 1:2, а проекции наклонных равны 1см и 7см.

Задача 3. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до плоскости, не пересекающей этот отрезок, если расстояние от точек А и В до плоскости равны 3,2см и 5,3см.

Задача 4. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 и 33см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2:3.

Задача 5. Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней две наклонные, сумма длин которых равна 22 см.
Проекции этих наклонных на плоскость равны 7см и 10см. Найдите длины наклонных.

Задача 6. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до плоскости, не пересекающей этот отрезок, если расстояния от точек А и В до плоскости равны см и см.

Теорема о трех перпендикулярах

Задача 7. Из вершины прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника АВС восстановлен перпендикуляр СД к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки Д до гипотенузы треугольника, если ВС=2см, СД=1см.

Задача 8: В равнобедренном треугольнике АВС основание СВ =12м, боковая сторона 10м. Из вершины А проведен отрезок АД=6м и перпендикулярный плоскости АВС. Найдите расстояние от точки Д
до стороны ВС.