Площадь многогранников и тел вращения

Отрезки, соединяющие вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называются диагоналями.
Многогранником
называется тело,
поверхность которого
состоит из конечного
числа многоугольников,
называемых гранями.
Стороны и вершины этих многоугольников
называются ребрами и вершинами.

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
Площадью поверхности многогранника по определению считается сумма площадей, входящих в эту поверхность многоугольников.
Площадь поверхности призмы состоит из площади боковой поверхности и площадей оснований.
Площадь поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания.

Многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов
Многогранник, поверхность которого
состоит из шести параллелограммов
Параллелепипед называется прямоугольным, если все его грани прямоугольники
Куб
Прямоугольный параллелепипед
Параллелепипед

Площадь призмы
Sбок. + 2Sосн
Sбок. = Ph
a
b
h
Теорема: Площадь боковой поверхности прямой
призмы равна произведению периметра основания
на высоту.
Sбок. = ah + ah +bh + bh =
= h( 2a + 2b) = Ph
Sполн. =

Многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника и треугольников, имеющих общую вершину
Многоугольник называют основанием пирамиды
Треугольники называют боковыми гранями
Общую вершину называют вершиной пирамиды
Перпендикуляр РН называют высотой
Sбок. + Sосн.
Н
Р
Пирамида
Sполн. =

Основание правильный многоугольник, высота опущена в центр основания.
Перпендикуляр РЕ называют апофемой
Теорема: Площадь боковой поверхности правильной
пирамиды равна половине произведения периметра
основания на апофему
Р
Е
Правильная пирамида
Боковые ребра равны
Боковые грани – равные равнобедренные треугольники
Основание высоты совпадает
с центром вписанной или
описанной окружности

Правильные многогранники

Теорема Эйлера
Число граней + число вершин - число ребер = 2.
4
4
6
8
6
12
20
12
30
12
20
30
6
8
12

Площадь поверхности цилиндра.
O
Цилиндр –
тело, ограниченное
цилиндрической поверхностью
и двумя кругами
AB –
образующая, высота цилиндра
OB –
радиус цилиндра

Площадь поверхности цилиндра
Sцилиндра = 2Sосн+Sбок
Sцилиндра= 2πR(R+h)
O
Sосн = πR2
Sбок = 2πRh

Площадь поверхности конуса
Конус –
тело, ограниченное конической поверхностью и кругом.
SA –
образующая конуса
SO –
высота конуса
OA –
радиус конуса

O
A
S
Площадь поверхности конуса
Sконуса = Sосн+Sбок
Sконуса= πR( R+l )
Sосн= πR2
Sбок= πRl

Площадь поверхности сферы
Сфера –
поверхность, состоящая из
всех точек пространства,
расположенных на данном
расстоянии от данной точки.
ОА –
радиус сферы

Площадь поверхности сферы
Sсферы = 4πR2

Площадь поверхности тел вращения
Sбок= 2πRh
Sцилиндра= 2πR(R+h)
Sбок= πRl
Sконуса= πR( R+l )
Sсферы = 4πR2

Упражнение 1
Чему равна площадь поверхности куба с ребром 1?
Ответ: 6.

Упражнение 2
Объем куба равен 8 м3. Найдите площадь его поверхности.
Ответ: 24 м2.

Упражнение 3
Как изменится площадь поверхности куба, если каждое его ребро увеличить в: а) 2 раза; б) 3 раза; в) n раз?
Ответ: Увеличится в: а) 4 раза; б) 9 раз; в) n2 раз.

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.
Упражнение 6

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.
Упражнение 7

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.
Упражнение 8

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Упражнение 9

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.
Упражнение 10

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.
Упражнение 11

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ. 48.
Упражнение 12

В каждой грани куба с ребром 6 см проделали сквозное квадратное отверстие со стороной квадрата 2 см. Найдите площадь поверхности оставшейся части.
Ответ. 288.
Упражнение 13

Упражнение 14
Чему равна площадь поверхности правильного тетраэдра с ребром 1?

Упражнение 15
Чему равна площадь поверхности октаэдра с ребром 1?

Упражнение 16
Чему равна площадь поверхности икосаэдра с ребром 1?

Упражнение 17
Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5 см, а высота 10 см.
Ответ: 300 см2.

Упражнение 18
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите площадь поверхности данной призмы.
Ответ: 132 см2.

Упражнение 19
Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см и боковым ребром 10 см.
Ответ: 248 см2.

Упражнение 20
Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см и высота 4 см.
Ответ: 60 см2.

Упражнение 21
Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6 см и высотой 1 см.
Ответ: 8 см2.

Упражнение 22
Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания 4 см и высотой 2 см.
Ответ: 48 см2.

Упражнение 23
Как изменятся площади боковой и полной поверхностей пирамиды, если все её рёбра: а) увеличить в 2 раза; б) уменьшить в 5 раз?
Ответ: а) Увеличатся в 4 раза; б) уменьшатся в 25 раз.

Упражнение 24
Развёртка поверхности правильной треугольной пирамиды представляет собой равносторонний треугольник, площадь которого равна 80 см2. Найдите площадь грани пирамиды.
Ответ: 20 см2.

Упражнение 25
Радиус основания цилиндра равен 2 м, высота - 3 м. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Упражнение 26
Площадь осевого сечения цилиндра равна 4 м2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Упражнение 27
Осевое сечение цилиндра - квадрат. Площадь основания равна 1. Найдите площадь поверхности цилиндра.
Ответ: 6.

Упражнение 28
Площадь боковой поверхности и объем цилиндра выражаются одним и тем же числом. Найдите диаметр основания цилиндра.
Ответ: 4.

Упражнение 29
Два цилиндра образованы вращением одного и того же прямоугольника вокруг его неравных сторон. Равны ли у этих цилиндров площади: а) боковых; б) полных поверхностей?
Ответ: а) Да; б) нет.

Упражнение 30
Радиус основания конуса равен 3 м, высота - 4 м. Найдите площадь поверхности конуса.

Упражнение 31
Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания.
Ответ: 60о.

Упражнение 32
Образующая конуса равна 4 дм, а угол при вершине осевого сечения равен 90о. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.

Упражнение 33
Два конуса образованы вращением одного и того же прямоугольного треугольника вокруг его неравных катетов. Равны ли у этих конусов площади: а) боковых; б) полных поверхностей?
Ответ: а), б) Нет.