Предмет вычислительной математики. Численные методы

В настоящее время в науке и инженерной практике широко используется метод математического моделирования.
Математическим моделированием называется изучение реального объекта на ЭВМ с помощью математической модели этого объекта.

Сложные модели описывают объект точнее (адекватнее).
Математическое моделирование позволило исследовать на ЭВМ очень сложные процессы, такие, например, как глобальные климатические изменения в результате применения ядерного оружия (натурный эксперимент имеет катастрофические последствия).
В литературе математическое моделирование часто принято называть вычислительным экспериментом.

Основные этапы математического моделирования:
Разработка модели – формализация. Изучается в прикладных и фундаментальных науках.
Разработка метода (алгоритма) решения уравнения модели – алгоритмизация. Изучается в вычислительной математике.
Создание программы – программирование. Изучается в информатике.
Расчеты, анализ результатов – практическое использование.

Предметом вычислительной математики являются численные методы (алгоритмы) решения математических задач, возникающих при исследовании реальных объектов методом математического моделирования.

вычисления x*:

Специфика вычислительной математики
Предмет вычислительной математики. Погрешности. Численное дифференцирование.
Вычислительная математика имеет дело не только с непрерывными, но и с дискретными объектами → погрешность метода;
Погрешность вычислений в связи с ошибками округления;
Имеет значение обусловленность задач, т.е. чувствительность решения к малым изменениям входных данных;
Выбор вычислительного алгоритма, вообще говоря, влияет на результат вычислений;
Важная черта численного метода – экономичность, т.е. требование минимизации числа операций.

Классификация погрешностей

Классификация погрешностей
Погрешность решения задачи
Неустранимая
Устранимая
Неточность задания числовых данных
Погрешность математической модели
Погрешность метода
Вычислительная погрешность

Пример – колебания математического маятника
ΔΣ = | φ3 – φ | = | φ3 – φ2 + φ2 – φ1 + φ1 – φ | ≤ Δ1 + Δ2 + Δ3
ΔΣ ≤ Δ1 + Δ2 + Δ3
Неустранимая погрешность – трение зависит от скорости не совсем линейно + погрешность определения g, l, начальных условий; Δ1 = | φ1 – φ |.
Погрешность метода – дифференциальное уравнение не решается точно, требуется применить какой-либо численный метод; Δ2 = | φ2 – φ1 |.
Вычислительная погрешность связана, например, с конечностью разрядной сетки; Δ3 = | φ3 – φ2 |.

Вычислительная погрешность
Утверждение 1.1. Относительная погрешность округления при представлении вещественного числа в ЭВМ ε ≈ 2–t, где t – разрядность мантиссы.
В расчетах с двойной точностью t = 52, εdouble ≈ 10–16
Машинное представление вещественных чисел:

Иллюстрация понятия вычислительной погрешности (1)
Приближенное вычисление значения синуса с помощью разложения в ряд Тейлора
Ряд сходится для любого значения x
Напишем программу для вычисления значения синуса при:
X1 = π / 6 ≈ 0.52366
X2 = 12π + π / 6 ≈ 38.22277
(Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. – М.: Физматлит, 2001. – С. 439.)

#define EPS 1.e-8
#define X 0.52366
...
int i, k = 0;
double curr_sum = 0.0, curr_sum_old = 0.0, fact;
do {
fact = 1.0;
for ( i = 1; i<= 2*k+1; i++ )
fact *= i;
curr_sum_old = curr_sum;
curr_sum += pow( -1, k) * pow( X, 2*k+1 ) / fact;
k++;
} while ( fabs( curr_sum - curr_sum_old ) > EPS );
Результат расчета значения синуса:
Иллюстрация понятия вычислительной погрешности (2)
Для X1 = 0.52366: 0.500053…
Для X2 = 38.22277: 1.165079…