Презентация на тему Преобразования графиков функций

y=f(x)
y=|f(x)|
y=f(|x|)
|y|=f(x)
|y|=|f(x)|
y=|f(|x|)|

Актуальность: Эта тема актуальна, т.к. в конце 11 класса необходимо сдавать единый государственный экзамен по математике, куда будут включены задания, связанные с преобразованием графиков функций.
Нами были проанализированы различные собрания с экзаменационными заданиями.
Вывод: в сборниках КИМ единого государственного экзамена по математике встречаются задания на использование знаний о различных преобразованиях графиков функций.

Цель: Изучение способов построения графиков функций с помощью различных преобразований.
Задачи:
Исследовать взаимосвязь графика функции y=f(x) с графиками функций y=|f(x)|, y=f(|x|) , y=f(kx), y=kf(x),
y= -f(x), y=f(x)+b, y=f(x-a).
Рассмотреть задания на построение графиков функций с помощью преобразований.
Попробовать создать рисунок, используя исследуемые функции.
Узнать, есть ли более профессиональные и эффективные системы для построения графиков в декартовых системах координат кроме Excel и Calc, которые мы использовали для построения в прошлой работе.
Выявить в чём преимущества и недостатки этих компьютерных программ.

Рабочая гипотеза: графики сложных функций, можно построить с помощью преобразований графика исходной функции.
Объект – графики функций.
Предмет – построение графиков сложных функций с помощью преобразования графика исходной функции.
Методы исследования: наблюдения, сравнения, анализ, обобщение, прогнозирование, знаковое моделирование.

y=f(х)
y= -f(х)
Симметрия относительно оси «ох»
y=f(х)
y=f(|х|)
Сохраняя ту часть, где х≥0, выполнить её симметрию относительно оси «оу»
y=|f(х)|
y=f(х)
Сохраняя ту часть, где у≥0, выполнить симметрию относительно «ох» той части, где у<0

y=cos х y=cos |x|
y=cos х y= -cos x
y=cos х y=|cos x|
?
?
?

y=cos х
Графиком является косинусоида, проходящая через точки:
y=cos х

y=cos х y= -cos x
Для того, чтобы из графика функции y=cos x получить график функции y= - cos x , необходимо выполнить симметрию исходного графика относительно оси «ох».
?
y=cos х
y= -cos x

y=cos х y=cos |x|
Для того, чтобы из графика функции y=cos x получить график функции y=cos |x|, необходимо сохранить ту часть исходного графика, где х≥0, и выполнить её симметрию относительно «оу», а это и будет сам график y=cos x.
?
y=cos х
y=cos |x|

y=cos х y=|cos x|
Для того, чтобы из графика функции y=cosx получить график функции y=|cos x|, необходимо сохранить ту часть исходного графика, где у≥0, и выполнить симметрию относительно «ох» той части, где у<0.
?
y=cos х
y=|cos x|

y=cos х y=|cos |x||
Для того, чтобы из графика функции y=cosx получить график функции y=|cos|x||, необходимо сохранить ту часть исходного графика, где х≥0, и выполнить её симметрию относительно «оу», а затем сохранить ту часть получившеюся графика, где у≥0, и выполнить её симметрию относительно «ох» той части, где у<0.
?
y=cos х
y=cos |х|
y=|cos |х||
y=cos х
y=cos |х|
y=|cos |х||

y=cos х y=cos 3x
y=cos 3x
График этой функции проходит через точки:
?

y=cos х y=cos 3x
Вывод: Для того, чтобы из графика функции y=cosx получить график функции y=cos 3x, необходимо сжать исходный график в 3 раза вдоль «ох».
?
y=cos х
y=cos 3x

y=cos х y=cos x/3
y=cos x/3
График этой функции проходит через точки:
?

y=cos х y=cos x/3
Вывод: Для того, чтобы из графика функции y=cos x получить график функции y=cos x/3, необходимо выполнить растяжение исходного графика в 3 раза вдоль оси «ох».
?
y=cos х
y=cos x/3

y=cos х y=3cos x
y=3cos x
График проходит через точки:
?

y=cos х y=3cos x
Вывод: Для того, чтобы из графика функции y=cos x получить график функции y=3cos x, необходимо растянуть исходный график в 3 раза вдоль оси «оу».
?
y=cos х
y=3cos x

y=cos х y=cos(x+2)
y=cos(x+2)
Графиком является косинусоида, проходящая через точки:
?

y=cos х y=cos(x+2)
Вывод: Для того, чтобы из графика функции y=cosx получить график функции y=cos(x+2) , необходимо сдвинуть исходный график вдоль оси «ох» на 2 единицы влево.
?
y=cos х
y=cos(x+2)

y=cos х y=cosx-3
y=cosx-3
Графиком является косинусоида, проходящая через точки:
?

y=cos х y=cosx-3
Вывод: Для того, чтобы из графика функции y=cosx получить график функции y=cos x -3, необходимо сдвинуть исходный график вдоль оси «оу» на 3 единицы вниз.
?

Итог:
y=f(x)
y=f(|x|)
Сохраняя ту часть исходного графика, где х≥0, выполнить её симметрию относительно оси «оу»
y=f(x)
y=|f(x)|
Сохраняя ту часть, где у≥0, выполнить симметрию относительно оси «ох» той части, где у<0
y=f(x)
y=f(kx)
Если k>1, то сжатие исходного графика в k раз вдоль оси «ох», если 0
y=f(x)
y=kf(x)
Если k>1, то растяжение исходного графика в k раз вдоль оси «оу», если 0
y=f(x)
y= -f(x)
Симметрия исходного графика относительно оси «ох»
y=f(x)
y=f(x-a)
Сдвиг вдоль оси «ох», если а≥0, то на а единиц вправо, если а<0, то на а единиц влево
y=f(x)
y=f(x)+b
Сдвиг вдоль оси «оу», если b≥0, то на b единиц вверх, если b<0, то на b единиц вниз

Мы знаем, что для того, чтобы из графика функции получить график функции необходимо растянуть исходный график в 4 раза вдоль оси «оу».
Исследование количества корней уравнения:
y=a
1.
Графиком является косинусоида, проходящая через точки:
2. у=а – линейная функция.
Графиком является прямая, параллельная оси «ох» и проходящая через точки (2;а) и (0;а).

а) Уравнение 4cos x=a имеет бесконечное множество корней при
б) Уравнение 4cos x=a не имеет корней при
y=4cos x
y=6
y=4
y=1
y=-4
y=-6

Исследование количества корней уравнения:
|cos 2x|=x²
y=|cos 2x|
y=cos x y=cos 2x y=|cos 2x|
Мы знаем, что для того, чтобы из графика функции y=cos x получить график функции y=cos 2x, необходимо сжать исходный график в 2 раза вдоль оси «ох», а затем, чтобы получить график функции y=|cos 2x|, необходимо сохранить ту часть графика, где у≥0, и выполнить симметрию относительно оси «ох» той части, где у<0.
y=cos x
Графиком является косинусоида, проходящая через точки:
y=x² - квадратичная функция.
Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх.
(0;0) – вершина параболы.
«оу» - ось симметрии параболы.
y=|cos 2x|
y=x²

Т.к. графики функций y=|cos 2x| и y=x² пересекаются в двух точках, то уравнение
|cos 2x|=x² имеет 2 корня.
y=|cos 2x|
y=x²

Функции, использованные для построения рисунка

Заключение
Цель достигнута, мы изучили способы построения графиков функций с помощью различных преобразований.
Задачи выполнены, мы исследовали взаимосвязь графика функции y=f(x) с графиками функций y=|f(x)|, y=f(|x|) , y=f(kx), y=kf(x), y= -f(x), y=f(x)+b, y=f(x-a),научились строить эти графики, рассмотрели задания с применением таких функций, построили лицо мушкетёра, используя исследуемые функции, выяснили с помощью каких программных средств кроме Excel и Calc можно строить графики функций, выявили, в чём их преимущества и недостатки.
Теперь мы знаем, что для построения графиков используется не только Microsoft Office Excel и Open Office Calc, но есть и другие программы, не только не уступающие по возможностям этим программам, но и превышающие их, например,Wolfram Mathematica.

Значимость полученных результатов: сейчас нам стало известно, как строить графики сложных функций с помощью преобразований графика исходной функции, и если встретятся задания с применением этих функций, то мы будем знать, как они выполняются.
Использовать эти результаты можно при решении заданий единого государственного экзамена.