Презентация на тему Вычисление объемов пространственных тел

Содержание

Слайд 2

Немного теории.

Чтобы получить представление об общем методе вычисления объемов различных пространственных фигур,

Немного теории. Чтобы получить представление об общем методе вычисления объемов различных пространственных
попробуем найти объем лимона. Ни на одно из тел, изучаемых в школе (призма, пирамида, шар, конус и т.д.), лимон не похож. Однако, мы можем поступить как все хозяйки – разрезать лимон на тонкие ломтики, размер которых зависит от расстояния x, причем x[0;H].

H

x

Тогда, по свойству объема, сумма объемов всех ломтиков даст нам объем всего лимона.

Слайд 3

Немного теории.

H

x

x

С точки зрения геометрии мы построили сечения пространственной фигуры плоскостями, перпендикулярными

Немного теории. H x x С точки зрения геометрии мы построили сечения
оси фигуры; причем, если принять число разбиений бесконечно большим числом (n→), то:

Проще говоря, при бесконечном числе разбиений каждый ломтик «вырождается» в плоское сечение и объем лимона равен бесконечной интегральной сумме площадей таких сечений, зависящих от расстояния x, т.е.

где H – высота тела, а Sсеч. – некоторая функция, зависящая от x, причем x[0;H].

Sсеч.

Слайд 4

Немного теории (базовые классы могут пропустить).

H

x

x

Если принять число разбиений бесконечно большим числом

Немного теории (базовые классы могут пропустить). H x x Если принять число
(n→), то:

где H – высота тела, а Sсеч. – некоторая функция, зависящая от x, причем x[0;H].

Sсеч.

Слайд 5

I. Объем прямоугольного параллелепипеда
с высотой H и площадью основания S.

x

H

x[0;H]

0

Площадь сечения не

I. Объем прямоугольного параллелепипеда с высотой H и площадью основания S. x
изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания.

x

Слайд 6

II. Объем прямой призмы
с высотой H и площадью основания S.

x

x[0;H]

H

0

Площадь сечения не

II. Объем прямой призмы с высотой H и площадью основания S. x
изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания.

x

Слайд 7

III. Объем n-угольной прямой призмы
с высотой H и площадью основания S.

x

x[0;H]

H

0

Площадь

III. Объем n-угольной прямой призмы с высотой H и площадью основания S.
сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания.

x

Слайд 8

IV. Объем наклонной призмы
с высотой H и площадью основания S.

Площадь сечения,

IV. Объем наклонной призмы с высотой H и площадью основания S. Площадь
перпендикулярного высоте, не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания.

x

H

x[0;H]

0

x

Слайд 9

V. Объем треугольной пирамиды
с высотой H и площадью основания S.

H

x

x[0;H]


x

Площадь сечения изменяется

V. Объем треугольной пирамиды с высотой H и площадью основания S. H
в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных треугольников, т.е.:

0

Слайд 10

VI. Объем n-угольной пирамиды
с высотой H и площадью основания S.

H

x

Площадь сечения изменяется

VI. Объем n-угольной пирамиды с высотой H и площадью основания S. H
в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных n-угольников, т.е.:

x

x[0;H]

0

Слайд 11

VII. Объем усеченной пирамиды.

текст

VII. Объем усеченной пирамиды. текст

Слайд 12

VIII. Объем цилиндра с высотой H и площадью основания S.

x

x[0;H]

H

0

x

Площадь сечения не

VIII. Объем цилиндра с высотой H и площадью основания S. x x[0;H]
изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания.

Слайд 13

IX. Объем конуса с высотой H и площадью основания S.

x

x[0;H]

H

x

Площадь сечения изменяется

IX. Объем конуса с высотой H и площадью основания S. x x[0;H]
в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных кругов, т.е.:

0

Слайд 14

X. Объем усеченного конуса.

текст

X. Объем усеченного конуса. текст

Слайд 15

XI. Объем шара с радиусом R.

Найдем объем полушария, как бесконечную интегральную сумму

XI. Объем шара с радиусом R. Найдем объем полушария, как бесконечную интегральную
площадей сечения с радиусом r, где:

R

x

Значит, объем всего шара равен:

x

0

r

Слайд 16

XII. Объем шарового сегмента.

Вывод объема шарового сегмента с высотой h и радиусом

XII. Объем шарового сегмента. Вывод объема шарового сегмента с высотой h и
основания r отличается от вывода объема полушария нижним пределом интегрирования. В данном случае он равен R –h :

r

R

h

x

Обратите внимание, что в формуле объема шарового сегмента участвует радиус шара (R), а не радиус основания сегмента (r)!

Слайд 17

XIII. Объем шарового слоя.

текст

XIII. Объем шарового слоя. текст