Производная функции

Определение производной
Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b).
Аргументу x придадим некоторое приращение :
х
f(x )
x+Δx
f(x+ Δx )
Найдем соответствующее приращение функции:
Если существует предел
то его называют производной функции y = f(x) и обозначают одним из символов:

Определение производной
Итак, по определению:
Функция y = f(x) , имеющая производную в каждой точке интервала (a; b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Значение производно функции y = f(x) в точке x0 обозначается одним из символов:
Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс, то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический смысл производной.

Геометрический смысл производной
Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1:
х
f(x )
x+Δx
М
М1
f(x+ Δx )
Через точки М и М1 проведем секущую и обозначим через φ угол наклона секущей.

Геометрический смысл производной
Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x.
Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ), угловой коэффициент касательной есть k = f ’(x0 ).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.
Уравнение касательной
Уравнение нормали

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке , то она непрерывна в ней.
Теорема
Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке х, следовательно существует предел:
Доказательство:
где
при
По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции
Функция y = f(x) – непрерывна.
Обратное утверждение не верно: непрерывная функция может не иметь производной.

Производные основных элементарных функций
1
Формула бинома Ньютона:
Степенная функция:
K – факториал

Производные основных элементарных функций
По формуле бинома Ньютона имеем:
Тогда:

Производные основных элементарных функций
2
Логарифмическая функция:
Аналогично выводятся правила дифференцирования других основных элементарных функций.

Правила дифференцирования
Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором интервале (a; b) функции, С – постоянная.

Производная сложной функции
Пусть y = f(u) и u = φ(x) , тогда y = f(φ(x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.
Теорема
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько:

Пример
Вычислить производную функции