Простейшие свойства линейных пространств. Линейная зависимость и независимость

Теорема о свойствах линейно зависимых и линейно независимых систем векторов.
1) Система векторов, содержащая нулевой вектор, является линейно зависимой системой.

Теорема о свойствах линейно зависимых и линейно независимых систем векторов.
Система векторов, содержащая нулевой вектор, является линейно зависимой системой.
Система векторов, два вектора которой различаются скалярным множителем, является линейно зависимой системой.

Теорема о свойствах линейно зависимых и линейно независимых систем векторов.
Система векторов, содержащая нулевой вектор, является линейно зависимой системой.
Система векторов, два вектора которой различаются скалярным множителем, является линейно зависимой системой.
Если часть системы является линейно зависимой подсистемой, то и вся система векторов будет линейно зависимой.

Теорема о свойствах линейно зависимых и линейно независимых систем векторов.
Система векторов, содержащая нулевой вектор, является линейно зависимой системой.
Система векторов, два вектора которой различаются скалярным множителем, является линейно зависимой системой.
Если часть системы является линейно зависимой подсистемой, то и вся система векторов будет линейно зависимой.
Любая подсистема линейно независимой системы является линейно независимой.

4) Любая подсистема линейно независимой системы является линейно независимой.
Доказательство.
1)

4) Любая подсистема линейно независимой системы является линейно независимой.
Доказательство.
Нам дана линейно независимая система.
Докажем от противного. Пусть у этой системы векторов существует какая-то линейно зависимая подсистема. Тогда по пункту 3) и вся система будет линейно зависимой. Противоречие. Следовательно, не существует линейно зависимой подсистемы.
ЧТД.

§5. Ранг матрицы.
Опр. Рангом ненулевой матрицы называется максимальный порядок ненулевых миноров этой матрицы. Ранг нулевой матрицы равен нулю.
Обозначение: rg A, rang A.
Из определения следует, что ранг матрицы не превосходит её размеров.

Опр. Пусть rg A=r>0. Любой ненулевой минор r-го порядка этой матрицы называется базисным минором, а строки и столбцы, в которых расположен базисный минор, называются базисными строками и столбцами.
Базисный минор НЕ обязательно один, их может быть несколько, но все они имеют один и тот же порядок, равный рангу матрицы.

Теорема о базисном миноре.
Базисные строки(столбцы) матрицы являются линейно независимыми. Любая строка (столбец) является линейной комбинацией базисных строк(столбцов).
Без доказательства.

Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.
Определитель квадратной матрицы размера nхn равен нулю тогда и только тогда, когда какая-либо его строка(столбец) является линейной комбинацией других её строк(столбцов).

Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.
Определитель квадратной матрицы размера nхn равен нулю тогда и только тогда, когда какая-либо его строка(столбец) является линейной комбинацией других её строк(столбцов).
Доказательство.
Достаточность.
Дано: строка(столбец) является линейной комбинацией других её строк(столбцов). Поэтому, по свойствам определителя, определитель матрицы равен нулю

Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.
Определитель квадратной матрицы размера nхn равен нулю тогда и только тогда, когда какая-либо его строка(столбец) является линейной комбинацией других её строк(столбцов).
Доказательство.
Достаточность.
Дано: строка(столбец) является линейной комбинацией других её строк(столбцов). Поэтому, по свойствам определителя, определитель матрицы равен нулю
2) Необходимость.
Определитель матрицы равен нулю. Поэтому rg A
ЧТД

Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.
Определитель квадратной матрицы размера nхn равен нулю тогда и только тогда, когда какая-либо его строка(столбец) является линейной комбинацией других её строк(столбцов).
Эта теорема позволяет выяснять зависимость или независимость векторов не по определению. Составляем из векторов построчно матрицу и считаем её определитель ( если матрица квадратная). Если определитель равен нулю, то это значит, что какая-то строка выразилась через другую, т.е. система векторов будет зависимой.

Опр. Пусть есть две системы векторов. Если каждый вектор первой системы линейно выражается через векторы второй системы, то говорят, что первая система линейно выражается через вторую.

Опр. Пусть есть две системы векторов. Если каждый вектор первой системы линейно выражается через векторы второй системы, то говорят, что первая система линейно выражается через вторую.
Теорема.
Если бОльшая система векторов( по количеству векторов) линейно выражается через меньшую, то бОльшая система линейно зависимая.
Без доказательства.

Теорема об инвариантности ранга относительно элементарных преобразований.
Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга.
Доказательство.
Элементарные преобразования матрицы эквивалентны умножению исходной матрицы на матрицы элементарных преобразований. Поэтому, по предыдущей теореме, ранг не меняется.
ЧТД.

Способ вычисления ранга матрицы.
Исходную матрицу с помощью элементарных преобразований приводят к ступенчатому виду. Ранг при этом не меняется. Потом находят либо максимальный ненулевой минор ( его размер и будет рангом), либо максимальное количество ненулевых строк(их количество и будет рангом)