Решение иррациональных уравнений

Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную под знаком радикала, а также под знаком возведения в дробную степень. Например,

Основные методы решения иррациональных уравнений:
возведение в степень обеих частей уравнения;
введение новой переменной;
разложение на множители.

Дополнительные
методы решения иррациональных уравнений:
умножение на сопряженное;
переход к уравнению с модулем;
метод «пристального взгляда»
(метод анализа уравнения);
использование монотонности функции.

Метод возведения в степень
обеих частей уравнения:
1) Если иррациональное уравнение содержит только один радикал, то нужно записать так, чтобы в одной части знака равенства оказался только этот радикал. Затем обе части уравнения возводят в одну и ту же степень, чтобы получилась рациональное уравнение.

Метод возведения в степень обеих частей уравнения:
2) Если в иррациональном уравнении содержится два или более радикала, то сначала изолируется один из радикалов, затем обе части уравнения возводят в одну и ту же степень, и повторяют операцию возведения в степень до тех пор, пока не получится рациональное уравнение.

Метод введения новой переменной
Данный метод применяется в том случае, когда в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл принять это выражение за новую переменную и решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом найти исходную величину.

Метод разложения на множители
Для решения иррациональных уравнений данным методом следует пользоваться правилом:
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей, входящих в произведение; равен нулю; а остальные при этом имеют смысл.
Уравнение равносильно совокупности
1)
2)

Дополнительные методы решения иррациональных уравнений:
метод «пристального взгляда»
(метод анализа уравнения);
использование монотонности функции;
переход к уравнению с модулем.

Метод анализа уравнения
Свойства корней, которые используют при решении уравнений данным способом:
1. Все корни четной степени являются арифметическими, то есть если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла; если подкоренное выражение равно нулю, то корень так же равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то значение корня положительно.
2. Все корни нечетной степени определены при любом значении подкоренного выражения.
3. Функции и
являются возрастающими в своей области определения.

Метод использования
монотонности функции
Сформулируем два свойства монотонных функций:
1. Сумма возрастающих (убывающих) функций – функция возрастающая (соответственно, убывающая) на их общей области определения.
2. Разность возрастающей и убывающей (соответственно, убывающей и возрастающей) функций – функция возрастающая (убывающая) на их общей области определения.
Использование монотонности функций, входящих в уравнение, нередко значительно упрощают техническую часть решения.

Метод использования монотонности функций
Теорема о корне
Пусть y=f(x) – монотонная на некотором промежутке функция. Тогда при любом значении а уравнение f(x)=a имеет на этом промежутке не более одного корня.

Метод перехода
к уравнению с модулем