Решение теорем

Пример 1
Параллельной проекцией равностороннего треугольника может быть треугольник произвольной формы.
Действительно, пусть дан произвольный треугольник ABC в плоскости π. Построим на одной из его сторон. например, AC равносторонний треугольник AB1C так, чтобы точка B1 не принадлежала плоскости π. Обозначим через l прямую, проходящую через точки B1 и B. Тогда ясно, что треугольник ABC является параллельной проекцией треугольника AB1C на плоскость π в направлении прямой l.
Аналогично, параллельной проекцией прямоугольного треугольника может быть треугольник произвольной формы.

Пример 2
Параллельной проекцией правильного шестиугольника может быть произвольный шестиугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны.
Пусть ABCDEF – правильный шестиугольник, O – его центр. Выберем какой-нибудь треугольник, например, AOB. Его параллельной проекцией может быть треугольник A’O’B’ произвольной формы. Далее отложим O’D’ = A’O’ и O’E’ = B’O’. Теперь из точек A’ и D’ проведем прямые, параллельные прямой B’O’; из точек B’ и E’ проведем прямые, параллельные прямой A’O’. Точки пересечения соответствующих прямых обозначим F’ и C’. Шестиугольник A’B’C’D’E’F’ и будет искомой параллельной проекцией правильного шестиугольника ABCDEF.

Упражнение 1
На рисунке даны параллельные проекции A’, C’, E’ вершин A, C, E правильного шестиугольника ABCDEF. Изобразите всю параллельную проекцию этого шестиугольника.

Пример 3
Параллельной проекцией окружности является эллипс.

Упражнение 3
Какие фигуры могут служить параллельными проекциями треугольника?
Ответ: Треугольник или отрезок.

Упражнение 4
Может ли параллельной проекцией равностороннего треугольника быть: а) прямоугольный треугольник; б) равнобедренный треугольник; в) разносторонний треугольник?
Ответ: а), б), в) Да.

Упражнение 5
Какой фигурой может быть параллельная проекция прямоугольника?
Ответ: Параллелограммом или отрезком.

Упражнение 6
Может ли параллельной проекцией прямоугольника быть: а) квадрат; б) параллелограмм; в) ромб; г) трапеция?
Ответ: а), б), в) Да; г) нет.

Упражнение 7
Верно ли, что проекцией ромба, если он не проектируется в отрезок, будет ромб?
Ответ: Нет.

Упражнение 8
Параллельной проекцией каких фигур может быть квадрат?
Ответ: Параллелограммов.

Упражнение 9
В какую фигуру может проектироваться трапеция?
Ответ: Трапецию или отрезок.