Решение задач

ЗАДАНИЕ № 19 - 1
Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число.
Затем из первого числа вычли второе и получили 1458. Приведите ровно один пример такого числа.
РЕШЕНИЕ

ЗАДАНИЕ № 19 - 2
Найдите четырёхзначное число, кратное 18, произведение цифр которого равно 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
РЕШЕНИЕ

ЗАДАНИЕ № 19 - 3
Найдите трехзначное натуральное число, большее 500, которое при делении на 4, на 5 и на 6 дает в остатке 2, и в записи которого есть только две различные цифры. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число
РЕШЕНИЕ

ЗАДАНИЕ № 19 - 4
Приведите пример трёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.
РЕШЕНИЕ

ЗАДАНИЕ № 19 - 5
Вычеркните в числе 85417627 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе укажите ровно одно получившееся число.
РЕШЕНИЕ

ЗАДАНИЕ № 19 - 6
Приведите пример трёхзначного натурального числа, большего 500, которое при делении на 8 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.
РЕШЕНИЕ

ЗАДАНИЕ № 19 - 7
Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна 25, если известно, что его квадрат делится
на 16.
РЕШЕНИЕ

ЗАДАНИЕ № 19- 8
Приведите пример трёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.
РЕШЕНИЕ

ЗАДАНИЕ № 19 - 9
Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 5 и делится на 45. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Укажите наибольшее такое число.
РЕШЕНИЕ

ЗАДАНИЕ № 19 - 10
Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.
РЕШЕНИЕ

ЗАДАНИЕ № 19 - 11
Найдите трехзначное натуральное число, большее 600, которое при делении на 4, на 5 и на 6 дает в остатке 3, и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
РЕШЕНИЕ

ЗАДАНИЕ № 19 - 12
Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся трёхзначное число делилось на 27. В ответе укажите получившееся число.
РЕШЕНИЕ

РЕШЕНИЕ № 19 -1
Число делится на 5, зна­чит, его последняя цифра или 0, или 5. Но так как при записи в обратном порядке цифры также образуют четырёхзначное число, то эта цифра 5, ибо число не может начинаться с 0. Пусть число имеет вид . Тогда условие можно записать так:
1000a + 100b + 10c + 5 – (5000 + 100c + 10b + a) = 1458
999(a – 5) + 90(b – c) = 1458
Второе слагаемое в левой части делится на 10. Значит, за разряд единиц в сумме отвечает только первое слагаемое. То есть 9(a-5)mod10 = 8. Откуда a = 7 .
Подставив полученное значение в уравнение, получим, что 90(b – c) = -540, b – c = -6. Перебрав все пары b и с, которые являются решением этого равенства, выпишем все числа, являющиеся ответом: 7065, 7175, 7285, 7395

РЕШЕНИЕ № 19 - 2
Если число кратно 18, оно кратно 2, 9, 3, 6: то есть оно должно быть четным и сумма его цифр должна быть кратна 9. Таким образом d - четное, a + b + c + d делится на 9, a·b·c·d = 24. Произведения цифр могут быть представлены в виде 4·6, 8·3. Числа, удовлетворяющие данным условиям: 3222, 2322, 2232

РЕШЕНИЕ № 19 - 3
При делении на 4 число даёт в остатке 2, следовательно, оно чётное. Поскольку число при делении на 5 даёт в остатке 2, то оно может оканчиваться на 2 или на 7. Таким образом, число обязательно должно заканчиваться цифрой 2.
Подбором находим, что условию задачи удовлетворяют числа 662 и 722.

РЕШЕНИЕ № 19 - 4
Пусть число имеет вид . Тогда условие записывается так:
Можно заметить, что если , то равенство никогда не выполняется. Когда есть хотя бы две единицы, оно так же не выполняется. Значит, среди данных чисел может быть лишь одна единица. Тогда другие две цифры — 2 и 3. Из этого набора можно составить только два числа, которые делятся на 4: 132 и 312.

РЕШЕНИЕ № 19 - 5
Если число делится на 18, то оно также делится на 9 и на 2. Число должно быть чётным, для этого вычеркнем цифру 7, получим 8541762. Посчитаем сумму цифр — 33. Для того, чтобы число делилось на девять необходимо, чтобы сумма цифр была кратна девяти. Можно вычеркнуть цифры 5 и 1, получив число 84762, либо вычеркнуть цифры 4 и 2 и получить число 85176. Также возможно вычеркнуть цифры 7 и 8 и получить число 54162.
Ответ: 84762, 85176 или 54162.

РЕШЕНИЕ № 19 - 6
По модулю 5 и 8 число имеет одинаковые остатки. Оно будет иметь тот же остаток и при делении на 40. Этот остаток больше нуля и меньше пяти. Пусть наше число имеет вид , тогда имеем:
Заметим, также, что искомое число должно быть чётным.
Переберём все варианты: 564, 684.

РЕШЕНИЕ № 19 - 7
Раз­ло­жим число 25 на слагаемые:
25 = 9 + 9 + 7 = 9 + 8 + 8.
Квадрат числа делится на 16, значит, само число делится на 4. Это значит, что оно как минимум заканчивается на чётную цифру. То есть первый набор отпадает, так как в нём таковых нет. Из второго мы можем составить числа 988 и 898. Первое число удовлетворяет условиям задачи.

РЕШЕНИЕ № 19 - 8
Можно заметить, что если среди цифр есть хотя бы две единицы, то равенство невозможно, так как сумма будет больше произведения. То же самое, если единиц нет вообще. В этом случае произведение будет слишком большое. Таким образом, среди цифр есть ровно одна единица. Число делится на 4, значит, последняя цифра чётная, а это значит, что произведение тоже чётное. А значит, и сумма. И так как последняя цифра чётная, то оставшиеся две цифры должны быть одной чётности. А так как мы выяснили, что среди цифр есть ровно одна единица, то эти числа нечётные. Под эти ограничения подходят числа: 132, 136, 152, 156, 172, 176, 192, 196, 312, 316, 512, 516, 712, 716, 912, 916, из которых удовлетворяют всем условиям только
числа 132 и 312.

РЕШЕНИЕ № 19 - 9
Если число делится на 5 и на 9, то это число делится и на 45.Вспомним признаки делимости на 5 — число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5). Вспомним признак делимости на 9 — число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Отсюда следует, что последняя цифра числа — 5, а сумма цифр должна быть: 9, 18, 27... Сумма цифр в нашем числе не может быть равна 9, но может быть равна 18. Поэтому условию удовлетворяют все числа, записываемые тремя единицами и тремя пятёрками, на последнем месте в записи которых стоит пять: 111555, 151515, ... Наибольшим из них является число 551115.

РЕШЕНИЕ № 19 - 10
Разложим число 20 на слагаемые различными способами: 20 = 9 + 9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 =
8 + 8 + 4 = 8 + 7 + 5 = 8 + 6 + 6 = 7 + 7 + 6.
При разложении способами 1−4, 7 и 8 суммы квадратов чисел не кратны трём. При разложении пятым способом сумма квадратов кратна девяти. Разложение шестым способом удовлетворяет условиям задачи. Таким образом, условию задачи удовлетворяет любое число,
записанное цифрами 5, 7 и 8,
например, число 578.

РЕШЕНИЕ № 19 - 11
При делении на 4 число даёт в остатке 3, следовательно, оно нечётное. Поскольку число при делении на 5 даёт в остатке 2, то оно может оканчиваться на 2 или на 8. Таким образом, число обязательно должно заканчиваться цифрой 3.
Подбором находим, что условию задачи удовлетворяют числа 963 и 843.

РЕШЕНИЕ № 19 - 12
Если число делится на 27, тогда оно делится на 3 и на 9. Число делится на 9, тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 9. Число делится на 3, тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 3. Заметим, что, если число делится на 9,то оно делится и на 3. Сумма цифр числа 123456 равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Вычеркнув числа 2, 4 и 6 получим, число, сумма цифр которого равна девяти. Девять делится на девять.
Ответ: 135.