Симплексный метод планирования. Лекция 6

Метод симплексного планирования позволяет без предварительного изучения влияния факторов найти область оптимума. В этом методе не требуется вычисления градиента функции отклика, поэтому он относится к безградиентным методам поиска оптимума. Для этого используется специальный план эксперимента в виде симплекса.
Симплекс — это простейший выпуклый многогранник, образованный k+1 вершинами в k-мерном пространстве, которые соединены между собой прямыми линиями. При этом координаты вершин симплекса являются значениями факторов в отдельных опытах. Так, например, в двухфакторном пространстве (на плоскости) k=2 симплекс — любой треугольник, в трехфакторном (трехмерном) k=3 пространстве — тетраэдр и т.д.
Симплекс называется правильным или регулярным, если все расстояния между образующими его вершинами равны (равносторонний треугольник, правильный тетраэдр и др.).
После построения исходного симплекса и проведения опытов при значениях факторов, соответствующих координатам его вершин, анализируют результаты и выбирают вершину симплекса, в которой получено наименьшее (наихудшее) значение функции отклика. Для движения к оптимуму необходимо поставить опыт в новой точке, являющейся зеркальным отображением точки с наихудшим (минимальным) результатом относительно противоположной грани симплекса.
Метод симплексного планирования

Рис. 1. Схема движения к оптимальной
области симплексным методом
По итогам проведения опытов 1, 2 и 3 худшим оказался опыт 3. Следующий опыт ставится в точке 4, которая образует с точками 1 и 2 новый правильный симплекс. Далее сопоставляются результаты опытов 1, 2 и 4. Наихудший результат получен в точке 1, поэтому она в новом симплексе заменяется зеркальным отображением (точкой 5) и т.д., пока не будет достигнута почти стационарная область.
Следует заметить, что хотя этот путь и зигзагообразен, общее число опытов, необходимых для достижения области оптимума, может быть небольшим за счет того, что проводить k+1 опыт приходится лишь в начале, а в дальнейшем каждый шаг сопровождается проведением только одного дополнительного опыта, условия которого выбираются на основе предшествующих результатов.

Симплекс, рассчитанный по этим формулам, представлен на рис. 2
Рис. 2. Схема построения начального симплекса

Так, если x10=0 и x20=0, а∆x1=∆x2=1, то координаты опытов будут равны (см. рис.3):
опыт 1 (0,5;0,289),
опыт 2 (-0,5; 0,289)
опыт 3 (0;-0,577),
что соответствует координатам вершин равностороннего треугольника с длиной стороны,
равной 1.
Начало координат в этом случае находится в точке пересечения медиан (биссектрис).
Рис. 3. Координаты вершин симплекса

Известны следующие критерии окончания процесса последовательного отражения наихудших вершин и постановки очередных опытов в новых вершинах:
2. Отражение любой из вершин симплекса после однократного качания приводит к его возврату в прежнее положение. При этом есть основания утверждать "накрытие" симплексом точки оптимума.
3. Циклическое движение симплекса вокруг одной из его вершин на протяжении более чем нескольких шагов. Подобная ситуация имеет место, когда искомый оптимум располагается внутри области, охватываемой циркулирующим симплексом.