Способы решения систем линейных уравнений

Система уравнений
Определения
Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно
Каждая пара значений переменных, которая одновременно является решением всех уравнений системы, называется решением системы
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство
Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или установить, что их нет

Методы решения системы уравнений :
1) Метод подстановки ;
2) Метод сложения ;
3) Графический метод

Метод подстановки
х + у = 10
4х + 5у = 44
Решаем систему так:
1. Из первого уравнения выражаем У через Х :
у = 10 – х.
2. Подставляем полученное выражение вместо У во второе уравнение системы : 4х + 5( 10 – х) = 44.

3. Решаем полученное уравнение:
4х + 5( 10 – х ) = 44
4х + 50 – 5х = 44
-х = - 6
х = 6
4. Подставляем полученное значение х в выражение для у:
у = 10 – х
у = 10 – 6 = 4.
5. Записываем ответ: х = 6, у = 4
или в виде цифровой пары ( 6;4 ).
6. Для уверенности делаем проверку: 6 + 4 = 10
4∙6 + 5∙4 = 44.
7. Записываем ответ задачи!

Алгоритм решения систем линейных уравнений методом подстановки.
1. Выражают из любого уравнения системы одну переменную через другую.
2. Подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной равное ей выражение.
3. Решают получившееся уравнение с одной переменной.
4. Находят соответствующее значение второй переменной.
ПРИМЕР: Решить систему уравнений способом подстановки.
2х + у = 12
7х - 2у = 31
у = 12 – 2х
7х – 2( 12 – 2х ) = 31
у = 12 – 2х
11х = 55
у = 2
х = 5

Метод сложения
Решим уравнение!
1.Умножим первое уравнение на -4:
-4х + (-4у) = -40
4х + 5у = 44
2.Теперь сложим эти уравнения:
у = 4
3.Подставим полученное значение в одно из уравнений: х + 4 = 10; х = 10 – 4 = 6.
4.Получаем решение ( 6;4 )
5.Проверяем. Записываем ответ.
х + у = 10
4х + 5у = 44

Алгоритм решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения.
1.Умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными.
2.Складывают почленно левые и правые части уравнений системы.
3.Решают получившееся уравнение с одной переменной.
4.Находят соответствующее значение второй переменной.

Графический метод
Решим уравнение
4Х + 5У = 44.
Х + У = 10
Построим график уравнения Х + У = 10.
Это линейная функция и ее график – прямая.
Выразим У через Х:
У = 10 – Х.
Найдем точки, принадлежащие графику:
х 0 10
у 10 0
Построим график уравнения 4х + 5у=44
Функция линейная, графиком является прямая.
Выразим У через Х:
5у = 44 – 4х
у = 8,8 - 0,8у.
Точки прямой:
х 1 10
у 8 0,8

.
.
у
х
10
10
1
8
.
4
6
.
1
.
( 6;4 )