Алгебра высказываний

Алгебра и логика
Простые высказывания в алгебре логики обозначаются заглавными латинскими буквами:
А = {Аристотель - основоположник логики}
В = {На яблонях растут бананы}.
Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному — 0.
Таким образом: А = 1, В = 0.

Алгебра и логика
Составные высказывания на естественном языке
образуются с помощью союзов:
Солнце в зените И тени нет.
Мы пойдём в кино ИЛИ на дискотеку.
НЕВЕРНО, что Солнце движется вокруг Земли.
ЕСЛИ сумма цифр числа делится на 3, ТО число делится на 3
Число 15 делится на 3 ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, когда
сумма цифр числа 15 делится на 3.
Эти союзы в алгебре высказываний заменяются на
логические операции.
Логические операции задаются таблицами истинности и могут быть графически проиллюстрированы с помощью
диаграмм Эйлера-Венна.

Солнце в зените И тени нет.
Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение):
в естественном языке соответствует союзу и;
в алгебре высказываний обозначение &;
в языках программирования обозначение And.
Составное высказывание, образованное в результате конъюнкции истинно тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств.
Таблица истинности: Диаграмма Эйлера-Венна
А
В
А&В

Мы пойдём в кино ИЛИ на дискотеку.
Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение):
в естественном языке соответствует союзу или;
обозначение V;
в языках программирования обозначение Or.
Составное высказывание образованное в результате дизъюнкции является истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.
В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств.
Таблица истинности: Диаграмма Эйлера-Венна
А V В

НЕВЕРНО, что Солнце движется вокруг Земли.
Логическая операция ИНВЕРСИЯ (отрицание):
в естественном языке соответствует словам неверно, что... и частице не;
обозначение А ;
в языках программирования обозначение Not;
Отрицание - это логическая операция, которая делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.
В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества.
Таблица истинности: Диаграмма Эйлера-Венна
А
А

ЕСЛИ сумма цифр числа делится на 3, ТО число делится на 3
Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование):
в естественном языке соответствует обороту если ..., то ...;
обозначение ?
Составное высказывание с импликацией является ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.
Таблица истинности:

Число 15 делится на 3 ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, когда
сумма цифр числа 15 делится на 3.
Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (равнозначность):
в естественном языке соответствует оборотам речи тогда и только тогда; в том и только в том случае;
обозначения ⬄, ~ .
Составное высказывание с эквиваленцией является истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.
Таблица истинности: