Дифуры 1го порядка

Что нужно знать и уметь, для того чтобы научиться решать дифференциальные уравнения? Для успешного изучения диффуров вы должны хорошо уметь интегрировать и дифференцировать. Если у вас более или менее приличные навыки интегрирования, то тема практически освоена! Чем больше интегралов различных типов вы умеете решать – тем лучше. Почему? Придётся много интегрировать. И дифференцировать.

Встречаются 3 типа дифференциальных уравнений первого порядка:
Уравнения с разделяющимися переменными,
Однородные уравнения,
Линейные неоднородные уравнения,

Сначала вспомним обычные уравнения
Они содержат переменные и числа

Что значит решить обычное уравнение?
Это значит, найти множество чисел, которые удовлетворяют данному уравнению

Диффуры устроены примерно так же
Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит:
независимую переменную
зависимую переменную (функцию)
первую производную функции

Что значит решить дифференциальное уравнение?
В некоторых уравнениях 1-го порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но это не существенно – важно чтобы в ДУ была первая производная , и не было производных высших порядков – , и т.д.

Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций часто имеет вид ( – произвольная постоянная), который называется общим решением дифференциального уравнения.

Пример
Решить дифференциальное уравнение
Полный боекомплект. С чего начать решение?
В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение , которое многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным. В диффурах рулит именно оно!
Итак:

На втором шаге смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п. Дифференциалы и – это полноправные множители и активные участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».
Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные:

Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу достаточно записать один раз (т.к. константа + константа всё равно равна другой константе). В большинстве случаев её помещают в правую часть.
Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть, – это общий интеграл.
Ответ в такой форме вполне приемлем, но нет ли варианта получше? Давайте попытаемся получить общее решение.
Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) тоже целесообразно записать под логарифмом.

То есть, ВМЕСТО записи
обычно пишут:
Используем свойство логарифмов и получаем:
Теперь логарифмы и модули можно убрать:
Ответ: общее решение: