Логарифмическая функция

Логарифмическая функция
Функцию, заданную формулой y=logax,называют логарифмической функцией с основанием a.
Построим графики функций y=log2x и y=log½x
Основные свойства функции
D(loga)=(0;+∞)
E(loga)=(-∞;+∞)
Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при a>0) или убывает (при 0
y=log2x
y=log½x

Рассмотрим примеры применения свойств логарифмической функции.
Найдите область определения функции
Т.к. D (log4t )=(0;+∞), то получаем
Решая это неравенство методом интервалов имеем:
Ответ: D (log4t )=(-∞;-3)∪(2;+∞)
2. Сравнить числа:
и
Основание логарифмической функции больше 1, значит она возрастает на всей числовой прямой. Так как 3,8<4,7, то
<
_

Построить график функции.
Так как D
олт
ОДЗ: x+1>0
x>-1
то

При решении всех логарифмических уравнений необходимо помнить, что D (logat)=(0;+∞)
Поэтому полученные корни обязательно проверяют либо подстановкой в условие уравнения, либо предварительно надо найти ОДЗ и проверить принадлежность корней этой области.
решение логарифмических уравнений

1 способ: Использование определения логарифма log a x=b, ab=x
Например.
log3(2-x)=2
2-x=32
2-x=9
x=-7
ОДЗ: 2-x>0
x<2
x∈(-∞;2)
-7∈ОДЗ
Ответ: -7

2 способ: Использование непрерывности функции
log5(x+4)=log5(5x-3)
Логарифмы равны, основания равны, значит равны выражения под знаком логарифма.
x+4=5x-3
-4x=-7
x=1¾
ОДЗ: x+4>0
5x-3>0
x>-4
x>0,6
-4
0,6
x∈(0,6;+∞)
1¾ ∈ОДЗ
Ответ: 1¾

3 способ: Использование основных свойств логарифма.
lgx-lg5=lg12
lgx=lg12+lg5
lgx=lg60
x=60
Ответ: 60
ОДЗ: x>0
x∈(0;+∞)
60∈ОДЗ

4 способ: Переход к квадратному уравнению.
log23x-2log3x-3=0
Пусть log3x=y
y2-2y-3=0
y1=3; y2=-1
Тогда log3x=3 log3x=-1
x=33 x=3-1 x=27 x=1⁄3
ОДЗ: x>0
x∈(0;+∞)
27∈ОДЗ, 1⁄3∈ОДЗ
Ответ: 1⁄3; 27