Показательные уравнения Учитель МБОУ «СОШ №31» г.Энгельса Волосожар М.И.

Показательные уравнения – это уравнения,
содержащие переменную в показателе степени.
Решение показательных уравнений часто
сводится к решению уравнения вида ,
где a>0, а 1, х – неизвестное.
Эти уравнения решаются с помощью свойства
степени: степени с одинаковыми основаниями
a>0, а 1 равны только тогда, когда равны их
показатели.

Рассмотрим различные типы показательных уравнений и типы их решения.
1. Решение уравнений с использованием свойств показательной функции:
Пример 1. Решить уравнение
Решение.
Так как 0,125=125/1000=1/8, 0,25=1/4 и 2=2 , то уравнение примет вид:
или
Т.к. 2>0, 2 1, то –3+4х–16 =2,5х или 1,5х=19, 3х=38, х=
ОТВЕТ: х=

2. Решение уравнений, сводящихся к квадратным
Пример 2. Решить уравнение
Решение.
Так как , то уравнение запишется в виде
или
Пусть , , тогда получим или ,
откуда t=2, t=4. Имеем два уравнения:
1.
2.
ОТВЕТ:
,
,
,
,
,
нет корней, так как
,
,
,

3. Решение уравнений вынесением
общего множителя за скобку
Пример 3. Решить уравнение
Решение.
Вынесем за скобку - степень с наименьшим показателем.
или
2х– 1=1, х=1
ОТВЕТ:
,
,
х=1

4. Решение показательных уравнений
логарифмированием обеих частей
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Прологарифмируем данное уравнение по основанию
5 (или 2).
Следует заметить, что можно, вообще говоря,
логарифмировать по любому основанию, но не совсем
удачный выбор основания может привести к
громоздким вычислениям.

Имеем:
или
, откуда
ОТВЕТ:
;
,
,
,
,
;

5. Решение уравнений с использованием свойства монотонности показательной функции.
При решении некоторых типов показательных уравнений используются следующие свойства:
1. Если функция f возрастает (или убывает) на некотором промежутке, то на этом промежутке уравнение f(x)=0 имеет не более одного корня.
2. Показательное уравнение вида ,
где a>0, b>0, a 1, b 1
имеет единственный корень х=1.
3. Сумма монотонно возрастающих (или монотонно убывающих) функций есть также функция монотонно возрастающая (монотонно убывающая).

Пример 5. Решить уравнение.
Решение.
а) Данное уравнение можно привести к виду
Так как и , то получим
Очевидно, что х=3 – корень уравнения.
б) или
Пусть
Найдем
Так как , то функция f(x) – монотонно убывающая, значит х=1 – единственный корень исходного уравнения.
а)
б)
ОТВЕТ: а) 3; б) 1