Тригонометрические уравнения Методы решений

История тригонометрии
Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon - треугольник, а metrew- измеряю)
Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом
Название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад
Впервые способы решения треугольников были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.)
Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли:
~Аль-Батани
~Абу-ль-Вафа
~Мухамед-бен Мухамед
~Насиреддин Туси Мухамед

Тригонометрические уравнения
Тригонометрические уравнения - это равенство тригонометрических выражений, содержащих неизвестное(переменную) под знаком тригонометрических функций
Решить тригонометрическое уравнение, значит, найти все его корни

Уравнения вида sin x=a
Уравнение sin x=a имеет решение при а принадлежащем [-1; 1]
Общая формула для решения подобных уравнений:
n
x=(-1)arcsin a + Пn, где n принадлежит Z и arcsin a принадлежит [-П /2; П / 2]
Примеры:
sin2x=0,5
sin x=-0,3

Уравнения вида cos x=a
Уравнение cos x=a имеет решение при а принадлежащем [-1; 1]
Общая формула для решения подобных уравнений:
x=+ / -arccos a + 2Пn, где n принадлежит Z и arccos a принадлежит [0; П]
Полезно знать, что arccos (-a)= П-arccos a
Примеры
cos4x=-1
cos0,5x=0

Уравнения вида tg x=a
Уравнение tg x=a имеет решение при всех значениях а
Общая формула для решения подобных уравнений:
x=arctg a + Пn, где n принадлежит Z
Полезно помнить, что arctg(-a)=-arctg a
Примеры
tg7x=25
tg x=0,7

Уравнения вида ctg x=a
Уравнение ctg x=a имеет решение при всех значениях а
Общая формула для решения подобных уравнений:
x=arcctg a + Пn, где n принадлежит Z и arcctg a принадлежит [0; П]
Полезно помнить, что arcctg(-a)=-arcctg a
Примеры
ctg9x=-0,1
ctg 0,6x=127

Метод подстановки
2 3
Уравнения вида asinx+bsinx+c=0, acosx+bcosx+c=0,
2 4 2 atgx+btgx+c=0, actgx+bctgx+c=0 сводятся к одной и той же функции относительно одного и того же выражения, входящего только под знак функции
То есть при замене sinx=q, cosx=w, tgx=e, ctgx=r получаются алгебраические уравнения:
2 3
Уравнения вида aqx+bqx+c=0, awx+bwx+c=0,
2 4 2
aex+bex+c=0, ar x+br x+c=0
После нахождения корней уравнений необходимо вернуться к sinx=q, cosx=w, tgx=e, ctgx=r
не забыв что sinx=a, cosx=a, при а принадлежащем [-1; 1]