Неравенства и их решения

Неравенство
Решить неравенство.
Совокупность неравенств

Неравенства
Алгебраические
Трансцендентные
рациональные
иррациональные

Пример: Решить неравенство
√24 – 10x + x² < x – 4
x-4> 0, (24-10x+x²)(24-10x + x²-(x-4²))<0
x-4> 0
(x-4) (x-6)(x-4)(-2)<0
x-4 >0,
(x-4)²(x-6)>0 x=4
x>6
Ответ:{4} ; [ 6 ; +∞ )

Методом интервалов:
1. Все члены неравенства переносятся в левую часть и приводятся к общему знаменателю.
2. Определить критические точки.
3. Критические точки наносятся на числовую прямую, прямая разбивается при этом на интервалы.
4. Определить знаки на интервалах.
5. . Множество решений неравенств объединяется интервалом с соответствующим знаком, при этом случае , если неравенство нестрогое ,то к этому множеству прибавляется корни числителя.

Линейные неравенства
– неравенства вида ax>b, ax< b,
ax≥ b,ax ≤b , где a и b действительные числа или выражения , зависящие от параметров (ax – неизвестное)

Например, (3 - √10 )(2х- 7)< 0
6x- 21- 2x√10 + 7√10<0 36x² + 441+40x² + 490< 0
76x² + 931< 0
x² < 12.25
x1= 3.5 x2= -3.5

(5 - a)x > a + 3
a > 5,
тогда х< a +3
5-a
2. а < 5,
тогда x > a+3
5-a
3. a =5 , x єØ
Пример:

Квадратные неравенства
– это неравенства вида ax² + b x +c > 0,
где a, b, c – действительные числа

Если а>0 и D<0 ,
то х єØ
Если a> 0 и D=0 ,
то x є( - ∞ ; -b/2a) (-b/2a ; + ∞ )
Если а > 0 и D > 0,
то х є(- ∞ ; х 1) (х 2; + ∞ ), где х1, х2- корни квадратного трехчлена.
Если a< 0 D<0,
то х є Ø
Если a<0 и D=0,
то х є Ø
Если a<0 и D >0 ,
то х є (х 1;х 2), х 1, х 2 - корни квадратного трехчлена.