Введение в вычислительную математику

2. Вычислительная линейная алгебра
Основные результаты
Методы решения СЛАУ
Прямые
Итерационные

2. Вычислительная линейная алгебра
Теорема Пусть наряду с СЛАУ Au = f рассматриваетмся возмущенная система
Если возмущения коэффициентов и число обусловленности матрицы СЛАУ таковы, что , то

2. Вычислительная линейная алгебра
То относительная погрешность решения, полученного прямым методом, удовлетворяет оценке

2. Вычислительная линейная алгебра
При вычислениях на идеальном компьютере

2. Вычислительная линейная алгебра
Важный частный случай – СЛАУ с трехдиагональной матрицей

2. Вычислительная линейная алгебра
Система с трехдиагональной матрицей

2. Вычислительная линейная алгебра
Модификация алгоритма Гаусса – метод ПРОГОНКИ
(Thomas algorithm)

2. Вычислительная линейная алгебра
Прогоночное соотношение
Из первого уравнения

2. Вычислительная линейная алгебра
Метод прогонки
Рекуррентная формула
Подставим
в уравнение

2. Вычислительная линейная алгебра
Метод прогонки

2. Вычислительная линейная алгебра
Метод прогонки
Обратный ход

2. Вычислительная линейная алгебра
Метод прогонки
Устойчивость
Диагональное преобладание (i = 1,…,n).

2. Вычислительная линейная алгебра
Метод прогонки – устойчивость
Теорема. Если выполнены условия диагонального преобладания
и хотя бы для одной строки матрицы системы имеет место строгое диагональное преобладание. Пусть, кроме того, 0 < p1 ≤ 1. Тогда алгоритм прогонки устойчив.

2. Вычислительная линейная алгебра
Доказательство теоремы

2. Вычислительная линейная алгебра
Метод прогонки. Устойчивость
Доказательство теоремы (продолжение)

2. Вычислительная линейная алгебра
Метод прогонки

2. Вычислительная линейная алгебра
Метод прогонки

2. Вычислительная линейная алгебра
Метод прогонки (обратный ход)

2. Вычислительная линейная алгебра
Метод простой итерации

2. Вычислительная линейная алгебра
Метод простой итерации

2. Вычислительная линейная алгебра
Метод простой итерации – каноническая форма записи

2. Вычислительная линейная алгебра
Неявные итерационные методы

2. Вычислительная линейная алгебра
Невязка

2. Вычислительная линейная алгебра
Метод простых итераций

2. Вычислительная линейная алгебра
Метод простой итерации

2. Вычислительная линейная алгебра
2. Вычислительная линейная алгебра
Метод простой итерации
Теорема (достаточное условие сходимости метода простой итерации).
Итерационный процесс сходится к решению U СЛАУ
со скоростью геометрической прогрессии при выполнении условия

2. Вычислительная линейная алгебра
Теорема (критерий сходимости метода простой итерации) (без доказательства).
Пусть СЛАУ имеет единственное решение. Тогда для сходимости метода простых итераций необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы В по абсолютной величине были меньше единицы.

2. Вычислительная линейная алгебра
Спасибо за внимание!