Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Цели:
12.09.2012
Сформировать представление о математической модели система уравнений.
Познакомиться с понятием системы двух линейных уравнений и ее решении.
Изучить графический способ решения систем двух уравнений.
Вопрос о количестве решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Решение более сложных систем двух уравнений с двумя неизвестными.
www.konspekturoka.ru

12.09.2012
www.konspekturoka.ru
Уравнение вида:
aх + b = 0
называется линейным уравнением с одной переменной (где х – переменная,
а и b некоторые числа).
Внимание!
х – переменная входит в уравнение
обязательно в первой степени.
Вспомним!

ах + by + c = 0
Линейное уравнение с двумя переменными
12.09.2012
www.konspekturoka.ru
Решением уравнения с двумя неизвестными называется пара переменных, при подстановке которых уравнение становится верным числовым равенством.
Уравнение вида:
называется линейным уравнением с
двумя переменными (где х, у - переменные,
а, b и с - некоторые числа).
(х;y)
Вспомним!

12.09.2012
www.konspekturoka.ru
Решить линейное уравнение –
это значит найти те значения
переменной, при каждом из которых
уравнение обращается в верное
числовое равенство.
(х;y)- ?
Таких решений бесконечно много.
Вспомним!

12.09.2012
www.konspekturoka.ru
Для построения графика достаточно найти координаты двух точек.
х + у – 3 = 0
Вспомним!

12.09.2012
www.konspekturoka.ru
Алгоритм построения графика
уравнения ах + bу + c = 0
3. Построим на координатной плоскости точки (х₁; у₁),
(х₂; у₂) и соединим прямой.
4. Прямая – есть график уравнения.
Вспомним!

12.09.2012
www.konspekturoka.ru
Часто приходится рассматривать математическую модель
состоящую из двух линейных уравнений с двумя переменными.
(х;y)
Решение системы уравнений с двумя неизвестными называется пара переменных, при подстановке которых уравнения становятся верными числовыми равенствами.
Решить систему - это значит найти все ее решения
или доказать, что их нет.

12.09.2012
www.konspekturoka.ru
Пример 1
1. Построим график уравнения
2х – у – 3 = 0 , у = 2х – 3.
-1
(1; -1)
2
(2; 1)
1
у = 2х - 3
-3
2. Построим график уравнения
х + 2у – 4 = 0 , 2у = -х + 4,
у = (-х + 4) : 2.
2
(0; 2)
у = (-х +4):2
3. Прямые пересекаются в
единственной точке А(2;1)
Ответ: (2; 1)
А
Графический способ
решения систем

12.09.2012
www.konspekturoka.ru
Количество решений двух линейных уравнений с
двумя переменными.

12.09.2012
www.konspekturoka.ru
Пример 1
1. Построим график уравнения
х + 2у – 5 = 0 , у = (5 - х):2.
1
(1; 2)
3
(3; 1)
2
у = (5 – х):2
-2
2. Построим график уравнения
2 х + 4у + 3 = 0 , 4у = -2х - 3,
у = -(2х + 3) : 4.
-1,5
(-1,5; 0)
у = - (2х + 3):4
3. Прямые параллельны.
Ответ:
система не имеет решений
Графический способ
решения систем
(2,5; -2)

12.09.2012
www.konspekturoka.ru
Пример 3
При каких значениях а система уравнений имеет единственное решение:
Решение
Условие при которых система уравнений имеет единственное решение:
Используем свойство пропорции:
Ответ: при всех значениях а, кроме а = 8, данная функция имеет единственное решение.

12.09.2012
www.konspekturoka.ru
Пример 4
При каких значениях а система уравнений несовместна:
Решение
Условие при которых система уравнений несовместна:
1) Сначала рассмотрим равенство
Используем свойство пропорции:

12.09.2012
www.konspekturoka.ru
Ответ: при а = 2, данная система несовместна.
2) Теперь проверим неравенство:
При подстановке значения а = 2 имеем:
- верное неравенство

12.09.2012
www.konspekturoka.ru
Пример 5
При каких значениях а система уравнений неопределенна:
Решение
Условие при которых система уравнений неопределенна:
1) Сначала рассмотрим равенство
Используем свойство пропорции:
Укажите решения системы.

12.09.2012
www.konspekturoka.ru
Итак при а = 1, данная система неопределенна.
2) Теперь проверим равенство:
При подстановке значения а = 1 имеем:
- верное равенство
При подстановке значения а = 1 в данную систему имеем:
Поделим второе уравнение на 2, имеем:
Ответ: решением системы будет любая пара чисел х и у, в которой х = 8 – 3у, а у – произвольное число.

12.09.2012
www.konspekturoka.ru
Ответить на вопросы
а) что собой представляют графики обоих уравнений системы?
б) в каком случае система имеет единственное решение?
в) какая система является несовместимой?
г) о какой системе говорят, что она неопределенна?
д) что называется решением системы уравнений с двумя переменными?
е) что значит решить систему уравнений?