Электронный задачник по теме Изопроцессы

ЗАДАЧИ
Задача №1.
Задача №2.
Задача №8.
Задача №9.
Задача №4.
Задача №5.
Задача №10.
Задача №3.
Задача №7.
Задача №11.
Задача №6.

ЗАДАЧА №1

α2
α1
0
T
P
На рисунке представлены две изохоры для газа одной и той же массы. Как относятся объёмы газа, если углы наклона изохор к абсцисс равны
и ?

Найти:
Дано:
Решение:
Уравнение Менделеева - Клайперона:
Зная, что
, можно записать в виде
В первом случае:
Отсюда следует, что
α2
α1
0
T
P

Во втором случае:
Исходя из выше написанного следует, что
Ответ:

ЗАДАЧА №2

С газом некоторой массы был произведён замкнутый процесс, изображенный на рисунке. Объяснить, как изменялся объём газа при переходах 1-2, 2-3, 3-4, 4-1.
3
4
0
T
P
2
1

3
4
0
T
P
2
1
Решение. Используем для анализа процесса изображенного на рисунке,
уравнение состояния идеального газа в форме
Согласно этой формуле процесс 1-2 является изохорным, так как соответствующий отрезок диаграммы лежит на луче, выходящем из начала координат p=βТ, где β-константа. Таким образом, на отрезке 1-2 объём был постоянным. Процесс 2-3 согласно рисунку – изобарный. При этом из записанной выше формулы следует, что объём пропорционален температуре, поэтому на отрезке 2-3 объём увеличивался. На отрезке 3-4 зависимость давления от температуры, соответствующую рисунку, можно представить в форме
(1)
(2)

откуда следует, что на отрезке 3-4 объём увеличился из-за уменьшения температуры.Отрезок 4-1 – вновь изобара. Следовательно, согласно (1) здесь объём уменьшался пропорционально уменьшению температуры.
где и - положительные константы. При этом, согласно формуле (1), зависимость объёма от температуры с учётом изменения давления (2) имеет вид:
(3)

Ответ.1-2-оставался постоянным;
2-3-увеличивался пропорционально Т;
3-4-увеличивался;
4-1-уменьшался пропорционально Т.

ЗАДАЧА №3

Начертить изотерму процесса для случая pV=40. Пользуясь графиком ответить на вопрос: на сколько изменился объем данной массы газа, если давление увеличился на 1\4 первоначальной величины.
Дано:
pV=40
Т=const
p(V)=?
Решение:
Найти:

p
V
1
2
3
4
2
4
6
0

ЗАДАЧА №4

Как менялось температура идеального газа – увеличивалась или уменьшалась – при процессе, график которого в координатах p, V изображен на рисунке.
p
V
0

Решение.
p
V
0
нагрвание
охлаждение
Кривая уравнения изотермы в координатах p, V – гипербола; pV=const, причем чем меньше температура газа, тем больше гипербола прижимается к осям координат. Нарисовав семейство гипербол, находим ответ.

ЗАДАЧА №5

Идеальный газ совершает замкнутый процесс, изображенный на рисунке в координатах (p,T).Изобразите этот процесс в координатах (p,V) и укажите, на каких стадиях газ получал, а на каких отдавал тепло.
0
р
Т
1
2
3
4

0
р
1
2
3
4
Решение.
Т
1-2 изотермический , 2-3 изохорический, 3-4 изотермический, 4-1 изохорический. Составим таблицу для основных термодинамических характеристик соответствующих процессов: работы А, изменения внутренней энергии
, количества теплоты .

p
V
0
1
2
3
4

ЗАДАЧА №6

Т
р
0
1
2
4
3
Газ совершает замкнутый процесс. Какое количество теплоты больше: полученное от нагревателя или отданное холодильнику? Какой машине этот цикл соответствует: тепловому двигателю или холодильнику?

Cформулируем общий алгоритм решения этой задачи:
перевести цикл в координаты (p, V) и составить таблицу;
установить направление обхода цикла и тип машины; оценить величины поглощенного и отданного количеств теплоты и общую работу;
рассчитать КПД машины.

Решение:
0
p
V
4
1
2
3
В координатах (p,V) цикл обходится по часовой стрелке, следовательно, мы имеем дело с тепловым двигателем. Работа газа за цикл , тепло , полученное от нагревателя, больше тепла отданного холодильнику.
Для полноты картины приведем таблицу, отвечающую разным участкам цикла: изохоры 1-2, изобары 2-3, изохоры 3-4, изотермы
4-1.

При контакте с нагревателем система получает тепло
а тепло
отдает холодильнику.
Если цикл запустить в обратном направлении (1 – 4 – 3 – 2 – 1 ), то получится холодильная машина: над газом (рабочим телом) совершается работа

от менее нагретого (холодного) тела забирается количество теплоты и отдается более нагретому телу количество теплоты
Нагреватель
Холодильник
а)
Нагреватель
Холодильник
б)

а) если цикл соответствует тепловому двигателю (обход по часовой стрелке), КПД равен:
(1)
б) если цикл соответствует идеальной тепловой машине (прямому циклу Карно), то её КПД
где и - температуры нагревателя и холодильника соответственно;
в) если цикл соответствует холодильной машине (обход против часовой стрелки), то ее КПД (точнее, холодильный коэффициент) определяется по формуле:
(2)

где - температура более нагретого тела, - температура холодного тела, от которого отбирается тепло;
г) если цикл соответствует идеальной холодильной машине (обратному циклу Карно ), то ее холодильный коэффициент
д) если обратный цикл соответствует так называемому тепловому насосу, то КПД теплового насоса
для идеального цикла Карно:

ЗАДАЧА №7

Найдите работу, совершаемую одним молем идеального газа в цикле 1-2-3-4-1, если известны температуры и в точках 1 и 3 соответственно, причём эти точки лежат на одной прямой, проходящей через начало координат.
3
4
0
V
P
2
1

Дано:
А=?
3
4
0
V
P
2
1
Так как работа газа, совёршенная им за цикл, равна площади фигуры, ограниченной циклом (только в координатах p, V!), то
Решение:

В системе уравнений:
(1)
(2)
(3)
(4)
Уменьшаем индексы:
Из этого равенства, а также из второго и четвёртого уравнений последней системы сразу вытекает:
Исходя из уравнения Менделеева-Клайперона, можно записать:

Так как точки 1 и 3 лежат на прямой, проходящей через начало координат, то
или после следующего уменьшения индекса,
Из этого равенства, а также из второго и четвёртого уравнений последней системы сразу вытекает:
Перемножив почленно первое и третье, а затем второе и четвёртое уравнения системы:
Получим:
, или
Отсюда

Ответ.

ЗАДАЧА №8

Может ли существовать такое вещество, которое можно перевести из некого начального состояния в одно и то же конечное состояние и адиабатически, и изотермически?
0
p
V
1
2

Решение:
0
p
V
1
2
Идеальный газ не может служить примером такого вещества. При адиабатическом расширении температура газа падает. При изотермическом расширении температура остается постоянной.
Значит точка 2 никогда не совпадет. Если представить такой процесс как цикл тепловой машины реального газа, состоящий из изотермического расширения и адиабатического сжатия.
Но тогда он представляет из себя вечный двигатель II рода. Невозможно создать тепловую машину, которая все тепло превращала в работу.
Значит такого вещества нет.

ЗАДАЧА №9

На рисунке показана теоретическая диаграмма работы компрессора двойного действия. Участок 1 – 2 соответствует изотермическому сжатию; участок 2 – 3 проталкиванию воздуха в резервуар (p=const); на участке 3 – 4 происходит мгновенное уменьшение давления в цилиндре компрессора при закрытии выпускного клапана и открытии впускного; участок 4 – 1 соответствует впуску воздуха при нормальном давлении. Показать, что работа, производимая компрессором за один оборот, характеризует изотермический процесс и может быть представлена площадью фигуры 1 – 2 – 5 – 6.
p
V
2
3
1
6
5
4
7

Решение:
p
V
2
3
6
5
4
7
Работа за цикл изображается площадью фигуры 1 – 2 – 3 – 4 – 1. Площадь фигуры 2 – 3 – 4 – 7, соответствующая работе при совершении части цикла, равна
Площадь фигуры 1 – 7 – 5 – 6 равна
1

Так как точки 1 и 2 лежат на одной изотерме, то
Следовательно,
то есть за один оборот равна работе при изотермическом процессе.

ЗАДАЧА №10

На рисунке дан график изменения состояния идеального газа в координатных осях Представьте этот процесс на графиках в координатных осях
0
V
T
2
3
1

0
V
T
2
3
1
Решение.
Поскольку на осях координат не указан масштаб, то по графику можно установить только относительное значение объемов и температур газа для различных моментов замкнутого процесса.
Переход из состояния в 1 в состояние 2, судя по прямолинейной зависимости от , осуществляется согласно по формуле
то есть изобарно.
Переход из состояния 2 в состояние 3 происходит при постоянной температуре, то есть изотермически

Переход 3 – 1 осуществляется при постоянном объеме, то есть изохорно
Представим теперь этот процесс в координатных осях
p
0
V
3
2
1
Изобарный переход 1 – 2 в координатных осях p, V изобразится прямой линией, параллельной оси ОV. Значения
и можно определить по заданному графику, а значение взять произвольно.
Изотерма 2 – 3 в координатных осях p, V – гипербола. При ее построении учтем, что в заданном изотермическом процессе объем газа уменьшается.

Изохорный процесс при уменьшении температуры сопровождается уменьшением давления, поэтому на графике он изображен вертикальной линией 3 – 1.
При построении графика в координатных осях p, T.
0
p
T
2
3
1
Значение выберем произвольно. Изобарный процесс 1 – 2 изобразится прямой линией, параллельной оси ОТ. Поскольку по условию изотермический процесс сопровождается уменьшением объема, изотерма 2 – 3 изобразится вертикальной линией.

Точка 3 должна находиться на изотерме - 2 и на изохоре, часть которой О – 1 изображена пунктиром. Продолжая прямую О – 1 до пересечения с прямой - 2, найдем точку 3.
После этого ясно, что изохорный процесс изобразится отрезком 3 – 1.

ЗАДАЧА №11

Один моль газа совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Температуры, соответствующие состояниям 1 и 3 - и соответственно. Определить работу, совершенную газа за цикл, если известно, что точки 2 и 4 лежат на одной изотерме.
P
V
0
1
2
3
4

Дано:
Найти:
А=?
P
V
0
1
2
3
4
Решение:
работа равна площади
прямоугольника.

Так как
(1)
Уравнение Клайперона-Менделеева:
( так как )
(2)
(3)
(4)
Из
Преобразуем уравнение для работы: