Основные формулы тригонометрии

Содержание
Из истории…
2) Основные тригонометрические формулы
а) основные тригонометрические тождества
б) формулы сложения в) формулы суммы и разности синусов, косинусов
г) формулы двойного аргумента
д) формулы половинного аргумента
3) Применение
4) Используемая литература

Истоки тригонометрии берут начало в древнем Египте, Вавилонии и долине Инда более 3000 лет назад. Индийские математики были первопроходцами в применении алгебры и тригонометрии к астрономическим вычислениям.
Лагадха (450-350 до Р.Х.) — единственный из самых древних известный сегодня математик, использовавший геометрию и тригонометрию в своей книге «Джьётиша-веданга» («Jyotisa Vedanga»), большая часть работ которого была уничтожена иностранными захватчиками.
Книга «Jyotisa Vedanga»

Теорему тангенсов доказал Региомонтан (латинизированное имя немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436-1476). Основным математическим трудом Региомонтана было сочинение «О всех видах треугольников» (1462—1464). Это был первый труд в Европе, в котором тригонометрия рассматривалась как самостоятельная дисциплина. В печатном виде это сочинение было опубликовано в 1533 году.

Арабские ученые аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вефа Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604.
Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед.
Аль-Батани
Насиреддин Туси Мухамед

В Европе основы геометрии закладывал древнегреческий астроном и математик Аристарх Самосский (310-230 лет до Р.Х.) в труде «О величинах и взаимных расстояниях Солнца и Луны».
Первые тригонометрические таблицы были, вероятно, составлены Гиппархом Никейским (180-125 до н.э.), который сейчас известен как «отец тригонометрии».

Греческий математик Клавдий Птолемей (87-165 от Р.Х) также внес большой вклад в развитие тригонометрии. Он расширил Гипарховы «Хорды в окружности» в его «Математическом синтаксисе». Тринадцатая его книга очень распространенная и значимая тригонометрическая работа всей античности.
Формула sin²α+cos²α =1 является следствием теоремы Пифагора.

sin²α+cos²α =1
tgα= sinα/cos α
ctgα = cosα/sin α
tgα ctgα =1
tg²α+1=1/cos²α
ctg²α+1=1/sin²α
Основные тригонометрические тождества

Формулы сложения
cos(α-β) = cosα cosβ+sinα sinβ
cos(α+β) = coα cosβ-sinα sinβ sin(α-β) = sinα cosβ-cosα sinβ
sin(α+β) = sinα cosβ+cosα sinβ
tg(α+β) = tgα+tgβ/1-tgα tg β
tg(α-β) = tgα-tgβ/1+tgα tg β

Фомулы суммы и разности синусов, косинусов
sin α+ sin β =2 sin(α+β)/2 cos(α-β) /2
sin α- sin β=2 sin(α-β)/2 cos(α+β) /2
cos α +cos β=2 cos (α+β)/2 cos(α-β) /2
cos α -cos β=-2 sin(α-β)/2 sin (α+β) /2

Формулы двойного аргумента
sin2α=2sinα cosα
cos2α= cos²α - sin²α
cos2α=1-2sin²α
cos2α= 2cos²α-1
tg2α= 2tgα/1- tg²α

Формулы половинного
аргумента
sin²α/2=1- cosα/2
cos²α/2=1+cosα/2
tg²α/2=1- cosα/1+cosα
tgα/2= sinα/1+cosα
tgα/2= 1-cosα / sinα

Тригонометрические формулы применяются практически во всех областях геометрии, физики, инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять
расстояния до недалёких звезд в астрономии, между ориентирами в географии.
Применяется также в таких отраслях как
техника навигации;
теория музыки;
акустика;
теория чисел;
экономика, анализ финансовых рынков;
электроника;
теория вероятности;
статистика и др.

оптика
медицина, фармацевтика
химия

сейсмология
метеорология
картография

системы навигации
спутников
астрономия
архитектура