Площадь поверхности шара

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ШАРОВОГО СЕГМЕНТА
Площадь боковой поверхности шарового сегмента, радиуса R и высотой h, выражается формулой

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ШАРОВОГО ПОЯСА
Площадь боковой поверхности шарового пояса, радиуса R и высотой h, выражается формулой

Упражнение 1
Площадь большого круга шара равна 3 см2. Найдите площадь поверхности шара.
Ответ: 12 см2.

Упражнение 2
Как изменится площадь поверхности шара, если увеличить радиус шара в: а) 2 раза; б) 3 раза; в) n раз?
Ответ: Увеличится в: а) 4 раза; б) 9 раз; в) n2 раз.

Упражнение 3
Площади поверхностей двух шаров относятся как 4 : 9. Найдите отношение их диаметров.
Ответ: 2:3.

Упражнение 4
Объём шара равен 288 дм3. Найдите площадь его поверхности.
Ответ: 144 дм2.

Упражнение 5
Сечение шара плоскостью, отстоящей от центра шара на расстоянии 8 см, имеет радиус 6 см. Найдите площадь поверхности шара.

Упражнение 6
Около шара описан цилиндр. Найдите отношение их площадей поверхностей и объемов.
Ответ: 2:3; 2:3.

Упражнение 7
Сечение шара плоскостью, отстоящей от центра шара на расстоянии 8 см, имеет радиус 6 см. Найдите площадь поверхности шара.

Упражнение 8
Во сколько раз площадь поверхности шара, описанного около куба, больше площади поверхности шара, вписанного в этот же куб?
Ответ: В три раза.

Упражнение 9
Около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 1 дм, 2 дм и 3 дм, описан шар. Найдите площадь его поверхности.
Ответ: 14 дм2.

Упражнение 10
Около октаэдра, ребро которого равно 2 дм, описан шар. Найдите площадь поверхности шара.
Ответ: 8π дм2.

Упражнение 11
Около шара описан цилиндр. Найдите отношение их площадей поверхностей и объемов.
Ответ: 2 : 3, 2 : 3.

Упражнение 12
Найдите площадь поверхности шарового сегмента, отсекаемого от шара радиуса 2 плоскостью, проходящей на расстоянии 1 от центра шара.

Упражнение 13
Шар радиуса 1 пересечен двумя параллельными плоскостями, которые делят перпендикулярный им диаметр шара в отношении 1 : 2 : 3. Определите площадь поверхности шара, заключенную между секущими плоскостями.

ПЛОЩАДЬ СФЕРИЧЕСКОГО МНОГОУГОЛЬНИКА
Сферическим многоугольником будем называть часть сферы, заключенной внутри многогранного угла с вершиной в центре сферы.
Напомним, что численная величина многогранного угла равна половине площади сферического многоугольника, высекаемого многогранным углом из единичной сферы с центром в вершине данного многогранного угла (см. раздел «Многогранные углы»).
где A1, …, An – углы сферического многоугольника, равные соответствующим двугранным углам многогранного угла OA1…An
Площадь сферического n-угольника A1…An на сфере с центром O и радиусом R выражается формулой

Упражнение 14
В сферу радиуса 1 вписан правильный тетраэдр, и три его грани, исходящие из одной вершины, продолжены до пересечения со сферой. Вычислите площадь части поверхности сферы, заключенной внутри образовавшегося трехгранного угла.

Упражнение 15
Найдите площадь сферического треугольника на единичной сфере, углы которого равны: а) 90о; б) 90о; в) 90о.
Решение. Данный треугольник составляет одну восьмую часть единичной сферы.

Упражнение 16
Найдите площадь сферического треугольника на единичной сфере, углы которого равны: а) 80о; б) 90о; в) 100о.

Упражнение 17
Центром единичной сферы является вершина правильной четырехугольной пирамиды с ребром основания 2 и высотой 1. Найдите площадь части сферы, заключенной внутри пирамиды.

Упражнение 18
Найдите площадь сферического треугольника, образованного трехгранным углом единичного тетраэдра ABCD и единичной сферой с центром в вершине D тетраэдра.

Упражнение 19
Найдите площадь сферического четырехугольника, образованного четырехгранным углом единичного октаэдра SABCDS’ и единичной сферой с центром в вершине S октаэдра.

Упражнение 20
Найдите площадь сферического пятиугольника, образованного пятигранным углом единичного икосаэдра и единичной сферой с центром в вершине икосаэдра.