Площадь треугольника. Полезные теоремы, следствия и задачи

ВСПОМНИТЕ ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ
1) Сформулируй понятие площади геометрической фигуры.
2) Сформулируй основные свойства площадей геометрических фигур.
3) Как можно вычислить площадь прямоугольника и параллелограмма?

ПЛОЩАДЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФИГУРЫ
Площадью геометрической фигуры
называется величина,
характеризующая размер данной фигуры.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПЛОЩАДЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
- Любая плоская геометрическая фигура имеет площадь.
- Эта площадь – единственная.
- Площадь любой геометрической фигуры выражается положительным числом.
- Площадь квадрата со стороной,равной единице,равна единице.
- Площадь фигуры равна сумме площадей частей,на которые она разбивается.

ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА
Площадь прямоугольника равна
произведению двух его соседних сторон.
в
S = а · в

ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Площадь параллелограмма равна
произведению его стороны на высоту,
опущенную на эту сторону
а
S = а · h
h

ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Площадь параллелограмма равна
произведению двух его соседних сторон
на синус угла между ними.
а
в
А
В
С
Д
S= а · в · sin А

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
Теорема
Площадь треугольника равна
половине произведения его стороны
на высоту, опущенную на эту сторону.
А
В
С
Д
S= ½ AC · ВД

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ
А
В
Д
С
К
S(АВС)= ½ S(АВДС)=1/2 АС · ВК

СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ
Попробуй доказать самостоятельно следующие следствия из теоремы:

СЛЕДСТВИЕ 1
Площадь прямоугольного треугольника
равна половине произведения его катетов.
А
В
С
S= ½ ВС · АС

СЛЕДСТВИЕ 2
Площадь тупоугольного треугольника
равна произведению любой из его сторон
на высоту, опущенную на прямую,
содержащую эту сторону.
А
В
С
Д

СЛЕДСТВИЕ 3
Площадь треугольника равна
половине произведения двух любых его сторон
на синус угла между ними.
А
В
С
S= ½ АВ · АС · sin А

СЛЕДСТВИЕ 4
Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
где а – сторона треугольника

СНАЧАЛА РЕШИ ЛЕГКИЕ ЗАДАЧКИ
1. Найти площадь треугольника, основание которого равно 16 см,
а высота, опущенная на это основание, равна 20 см.
2. Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 6 см.
3. Найти площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны
9 см и 12 см.

ПОЯСНЯЮЩИЕ ЧЕРТЕЖИ
К ЭТИМ ЛЕГКИМ ЗАДАЧКАМ
1
2
3

ТЕПЕРЬ РЕШИ ЗАДАЧКИ ПОТРУДНЕЕ
1. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 см, а основание равно 10 см. Найдите площадь треугольника.
2. Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти площадь треугольника, составленного из средних линий данного треугольника.
3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из его катетов
равен 8 см. Найдите площадь этого прямоугольного треугольника
*

ТЕПЕРЬ РЕШИ САМЫЕ ТРУДНЫЕ ЗАДАЧИ
1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна a, а угол при основании равен α. Найдите площадь треугольника.
2. Высота равностороннего треугольника равна h. Вычислите его площадь.
3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен β. Найдите площадь треугольника.

ОТВЕТЫ К ЛЕГКИМ ЗАДАЧКАМ
1. 160 см2
2. 9 см 2
3. 54 см 2

ОТВЕТЫ К БОЛЕЕ ТРУДНЫМ ЗАДАЧКАМ
1. 60 см 2
2.
3. 24 см 2

ОТВЕТЫ К САМЫМ ТРУДНЫМ ЗАДАЧКАМ
1. ½ a2sin2α
2.
3.

ЭТО ИНТЕРЕСНО!
Определение площадей геометрических фигур - одна из древнейших практических задач.
Правильный подход к их решению был найден не сразу.
Один из самых простых и доступных способов вычисления площадей был открыт Евклидом. При вычислении площадей он использовал простой прием, называемый методом разбиения.

Например, мы уже знаем, как можно вычислить площадь квадрата, прямоугольника и параллелограмма, а нам нужно вычислить площадь произвольного треугольника. Применим следующий алгоритм:

-Отметим на одной из сторон треугольника точку, которая является серединой этой стороны.
-Проведем через эту точку прямую, параллельную одной из сторон этого треугольника.
-Прямая разбивает этот треугольник на малый треугольник и трапецию.
-Переставим меньший треугольник к трапеции так, чтобы получился параллелограмм.

ПОЯСНЯЮЩИЙ ЧЕРТЕЖ

Исходный треугольник и полученный параллелограмм являются равносоставными фигурами, а значит и равновеликими.Мы знаем, что равновеликие фигуры - это фигуры, имеющие равные площади. Значит площадь исходного треугольника равна площади полученного параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, а высота исходного треугольника по построению в 2 раза больше высоты параллелограмма. Значит площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту!