Многогранники вокруг нас

Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства.
Бертран Рассел

Многогранники
Однородные
выпуклые
Однородные невыпуклые
Тела
Архимеда
Тела
Платона
Выпуклые
призмы и
антипризмы
Тела
Кеплера-
Пуансо
Невыпуклые
полуправильные
однородные
многогранники
Невыпуклые
призмы и
антипризмы

Правильными многогранниками
Называют выпуклые многогранники, все грани и все углы которых равны, причём грани – правильные многоугольники.
В каждой вершине правильного многогранника сходится одно и то же число рёбер.
Все двугранные углы при рёбрах и все многогранные углы при вершинах правильного многоугольника равны.
Правильные многогранники - трёхмерный аналог плоских правильных многоугольников.

Правильные многогранники
Сколько же их существует?
Тетраэдр -правильная треугольная пирамида с равными ребрами, ограниченная четырьмя правильными треугольниками.

Развертка тетраэдра

Правильные многогранники
Октаэдр – правильный четырёхугольный диэдр с равными рёбрами, ограниченный восемью правильными треугольниками.

Развертка октаэдра

Развертка усеченного октаэдра

Развертка ромбоусеченного кубооктаэдра

Икосаэдр- поверхность, ограниченная двадцатью правильными треугольниками.
Правильные многогранники

Развертка икосаэдра

Куб(гексаэдр)- правильная четырёхугольная призма с равными рёбрами, ограниченная шестью квадратами.
Правильные многогранники

Правильные многогранники
Додекаэдр- поверхность, ограниченная двенадцатью правильными пятиугольниками.

Развертка додекаэдра

Сделаем вывод:
Мы убедились, что существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями.
Эти тела еще называют
телами Платона.

Тетраэдр
Икосаэдр
Гексаэдр
Додекаэдр
Октаэдр

вода
земля
воздух
огонь
Вселенная
додекаэдр
гексаэдр
октаэдр
икосаэдр
тетраэдр
Пифагор

Двойственность куба и октаэдра

: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры.
Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот».

Число вершин минус число ребер плюс число граней равно двум.
Теорема Эйлера
В – Р + Г = 2

Тела Архимеда
Архимедовыми телами называются полуправильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани - правильные многоугольники нескольких типов.

Тела
Архимеда
Тело
Ашкинузе

Получение некоторых тел Архимеда
усеченный
тетраэдр
усеченный
октаэдр

Архимед
(287-211 гг. до н.э.)

Кристаллы
Халькопирит
Топаз
Пирит
Авгит
Медный купорос

Тела Кеплера – Пуансо
(правильные звездчатые многогранники)

Большой звездчатый
додекаэдр
Большой икосаэдр
Малый звездчатый
додекаэдр
Большой додекаэдр

Получение тел Кеплера - Пуансо
Продолжение рёбер додекаэдра приводит к замене каждой грани звёздчатым правильным пятиугольником. В результате получается малый звёздчатый додекаэдр.
На продолжении граней додекаэдра возможны следующие два случая:
если рассматривать правильные пятиугольники, то получается большой додекаэдр;
если же в качестве граней рассматривать звёздчатые пятиугольники, то получается большой звёздчатый додекаэдр.
При продолжении граней правильного икосаэдра получается большой икосаэдр.

Иоганн Кеплер
(1571-1630)

Снежинки – звёздчатые многогранники
А вы видели тени от снежинок?
А вы знаете, как они танцуют
В лунном блеске голубом и чистом
Или просто в свете фонаря?

Многогранники в геологии
Икосаэдро-
додекаэдрическая
структура Земли.

Многогранники в ювелирном деле