Решение треугольников

Определение
Решить треугольник-это по трем элементам треугольника найти остальные три элемента.

НАЙДЕНЫ СЛЕДУЮЩИЕ ЗАДАЧИ
ПОДВУМ УГЛАМ И СТОРОНЕ
ПО ДВУМ СТОРОНАМ И УГЛУ
ПО ТРЕМ СТОРОНАМ
ПО ТРЕМ УГЛАМ ПО ТРЕМ УГЛАМ ВЫХОД

Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам
Решите треугольник АВС, если угол А равен 30,угол В равен 40,АВ=16.
А
В
В
С

Нам потребуется теорема синусов

ТЕОРЕМА СИНУСОВ
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов
AB/SINC=AC/SINB=BC/SINA
А
В
С

Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам
ABС С=180-(30+40)=(180-70)=110
A=30 По теореме синусов
Дано: Решение:
B=40 AB:Sin C = BC : Sin A
AB=16 Sin C = Sin 110 = Sin(180-70)=
Найти:
С=? =Sin70≈0,9397
16/0,9397=BC/0,5
BC≈8,5
AB/Sin C=AC/Sin B
Sin B=Sin40≈0,6428
16/0,9397=AC/0,6428
AC≈10,9
АС=?
ВС=? Ответ : АС≈10,9

Реши сам
Дано:
ABC
BC=0,75
B=40
C=25
Найти:
АС-?

Ответ
41,2
ОБРАТНО

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Решите треугольник , если АВ=6см,ВС=8см,СА=10см
А
В
С

Нам потребуется теорема
синусов и терема косинусов

Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними
Иногда ее называют обобщенной теоремой Пифагора.

ТЕОРЕМА СИНУСОВ
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов
AB/SINC=AC/SINB=BC/SINA
А
В
С

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Дано:
АС=8СМ
АВ=11СМ
А=60
НАЙТИ:
СВ=?, С=? В =?,
А
В
С
В

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Решение:
По теореме косинусов
ВС²=AB²+AC²-2AB*AC*Cos 60=
BC²=121+64-176*0,5
BC²=121+64-80
BC²=97
BC≈9,8cм
По теореме синусов
AB/Sin C=BC/Sin A
Sin A≈0,866
11/Sin C=9,8/0,866
Sin C=11*0,866/9,8
Sin C=0,972
C≈76
B=180-(76+60)=44
Ответ: ВС≈9,8см С≈76 В≈44

Реши сам
Дано:
АВМ
АВ=5
АМ=8
ВАМ=60
Найти:
ВМ-?
Sin ABM-?

Ответ
ВМ=7см
Sin ABM=4√3/7
обратно

По трём сторонам
Дано:
AB=6cm
BC=8cm
CA=10cm
Найти:
A, B, C
В
А
С

Нам потребуется теорема синусов и теорема косинусов

ТЕОРЕМА СИНУСОВ
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов
AB/SINC=AC/SINB=BC/SINA
А
В
С

Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними
Иногда ее называют обобщенной теоремой Пифагора.

ПО ТРЕМ СТОРОНАМ
Дано: Решение:
АВ=6см
ВС=8см
СА=10см По теореме косинусов
АВ²=ВС²+СА²-2*ВС*СА*Соs C
Сos C=(BC²+CA²-AB²)/(2BC*CA)
Cos C= 128/(2*80)=0,8
C≈36
По теореме синусов
АВ/Sin C=AC/Sin B
6/0,5878=10/Sin B
Sin B=5,878/6≈0,9796≈78
B≈78
А=180-(78+36)=66

Реши сам
Стороны треугольника равны 9см,5√2см
и √41см .Найдите величину угла, противолежащего стороне, равной √41

Ответ :
45
обратно

КОНЕЦ