Численное интегрирование

Интегрирование
Операция нахождения интеграла называется интегрированием.
Операции интегрирования и дифференцирования обратны друг другу в следующем смысле:

Первообразная
Первообразной функции f(x)
называется такая функция F(x),
производная которой равна f(x):
F΄(x) = f(x)

Неопределённый интеграл
Запись вида
F (x) = ∫ f(x) dx,
где f(x) – функция действительного
аргумента,
F (x) – первообразная f(x),
dx – знак дифференциала,
указывает на
переменную дифференцирования
называется неопределенным интегралом подынтегральной функции f(x) по переменной х.

Значение неопределённого интеграла
Производные двух функций, отличающихся на константу, совпадают, поэтому в выражение для неопределенного интеграла включают произвольную постоянную C:
∫ f(x) dx = F (x) + С
Например:

Геометрический смысл неопределённого интеграла
Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых, полученных параллельным переносом графика функции y=F(x) вдоль оси ординат
График первообразной называется интегральной кривой.

Определённый интеграл
Об определенном интеграле есть смысл говорить на отрезке интегрирования [a, b]

Значение определённого интеграла
Значение определенного интеграла вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница

Геометрический смысл определённого интеграла
Определенный интеграл численно равен S - площади криволинейной трапеции? ограниченной осью абсцисс (Ох), прямыми х=а и х=в и графиком функции y=f(x)

Случаи применения численных методов для интегрирования
Численные методы интегрирования применяются, когда невозможно или затруднительно воспользоваться Ньютона-Лейбница, например, в случаях:
f(x) задана графически или таблично, тогда у нее не существуют первообразной F(x)
f(x) задана аналитически, то есть формулой, но интеграл неберущийся, не выражается через элементарные функции
f(x) задана аналитически, интеграл берущийся, но первообразная F(x) громоздкая.

Методы в численном интегрировании
В случае численного интегрирования прибегают к приближенному нахождению интеграла, для чего подынтегральную функцию f(x) заменяют другой, «близкой» к ней функцией, которая легко интегрируется.
Формулы, которые используют для приближенного вычисления интегралов, - квадратурные формулы.

Квадратурная сумма
Пусть вещественная функция f(x) определена и ограничена на замкнутом интервале от [a; b]. Разобьем [a; b] на n частичных интервалов [xi; xi+1] , 0≤i≤n-1, xn=b, x0=a. Выберем в каждом частичном интервале произвольную точку ξi, xi ≤ ξi ≤ xi+1, и составим интегральную сумму
Обозначим: ξ i – узел,
xi+1 – xi = q i – весы, тогда интегральная сумма заменится квадратурной суммой

Общий вид квадратурной формулы
R называется погрешностью, или остаточным членом квадратурной формулы.
Чтобы получить конкретную квадратурную формулу, нужно указать, как выбирать ξi, соответствующие веса qi и оценку погрешности R для определенных классов функций.
Для некоторых классов функций можно записать квадратурные формулы с погрешностью R=0 сразу для всего класса. Такие квадратурные формулы называются точными.

Формула прямоугольников. Идея
Разобьем
[a, b] на n равных отрезков с шагом
h=(b-a)/2
точками
x0=a
x1=a+h
x2=a+2h
…
xn=x1+nh=b
На каждом отрезке [xi; xi+1] аппроксимируем f(x) полиномом нулевой степени P0(xi)= f(xi)=yi, тогда площадь криволинейной трапеции на этом участке будет равна площади прямоугольника Si = h * yi
На всем отрезке [a, b] площадь криволинейной трапеции будет приближенно равна сумме площадей i прямоугольников

Формула прямоугольников. Геометрический смысл
На каждом отрезке [xi; xi+1] графически прямая
P0(xi) = f(xi) = yi | ,
параллельная оси (О, х), ограничивает кривую f(x)
На всем отрезке
[a, b]
f(x) будет ограничена ступенчатой фигурой, площадь которой и необходимо вычислить для определения интеграла f(x)

Формула прямоугольников.
Вид для вычислений

Формула трапеции. Идея
Разобьем
[a, b] на n равных отрезков с шагом
h=(b-a)/2
точками
xk=x1+kh,
k=1,…,n
На каждом отрезке [xi; xi+1] аппроксимируем f(x) полиномом первой степени P1(xi) с узлами на концах отрезка, тогда каждая малая дуга будет заменена на хорду, стягивающую эту дугу. То есть криволинейная трапеция будет заменена прямолинейной. Ее площадь вычисляется по формуле:
Sk = 1/2 *(yk-1 + yk) * h
На всем отрезке [a, b] площадь криволинейной трапеции будет приближенно равна площади составной фигуры

Формула трапеции. Геометрический смысл
На i-том отрезке графически прямая
L1(x) = kx+b ограничивает кривую f(x)
Sk = 1/2 *(yk-1 + yk) * h

Формула трапеции. Вид для вычислений

Практическая работа №5
Задание
Вычислить приближенно на отрезке [x0, x4] интеграл функции, заданной таблично, по формуле прямоугольника и по формуле трапеции.

Практическая работа №5
Пример
xi

Вычисления по формуле прямоугольников.
h = | 1,035 – 1,037| = 0,002
I = 0,002 * 21,43224
I = 0,04286448
I =