Дифференциальные уравнения. Лекция 2

ДУ с однородной функцией нулевого порядка в правой части.
(однородные уравнения первого порядка).

Функция f(x;y) называется однородной степени n, если умножение всех её аргументов на одно и то же число t равносильно умножению функции на tn, т.е.

Пример 1.
- однородная функция 3-ей степени
Так как

- однородная функция 1-ой степени
Так как
- однородная функция 0-ой степени
Так как

- однородная функция 2-ой степени
Так как
- однородная функция (-1)-ой степени
Так как

ДУ I порядка называется однородным, если f(x;y)- однородная функция 0-ой степени, т.е.

Однородное ДУ I порядка можно записать в виде:
Т.к.
, то если положить
Получаем:

Решение однородного ДУ I порядка
Это уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной
или

или

или
-общее решение данного ДУ

Пример 2. Найти общее решение ДУ:
Это однородное ДУ вида
⇒

Пример 3. Решить задачу Коши:
, если y(1)=0
Это однородное ДУ вида
⇒

- общее решение
Решим задачу Коши у(1)=0 :
или
- частное решение

Уравнение вида
называется однородным уравнением в дифференциальной форме,
если M(x;y) и N(x;y) - однородные функции одной и той же степени.

Пример 4. Найти общее решение ДУ:
M(x;y)
N(x;y)
- однородное уравнение вида

⇒

(*)

- общее решение

Это однородное ДУ можно привести к виду

⇒
⇒

- получили (*)

Пример 5. Найти общее решение ДУ:
M(x;y)
N(x;y)
- однородное уравнение вида
⇒

Пример 6. Найти общее решение ДУ:
Это однородное ДУ можно привести к виду

⇒

общий интеграл ду

- общий интеграл
или
- общий интеграл

Линейные уравнения первого порядка.
Уравнения Бернулли

Линейные уравнения первого порядка
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется ДУ 1-го порядка, линейное относительно неизвестной функции y и ее производной y ′.
В общем случае линейное уравнение 1-го порядка можно
записать в виде y ′ + p(x) ⋅ y = q(x) , (1)
где p(x) , q(x) – заданные непрерывные функции.
Если q(x) ≡ 0 , то линейное уравнение называется однородным.
В противном случае уравнение называется неоднородным.
Линейное однородное уравнение
y ′ + p(x) ⋅ y = 0
является уравнением с разделяющимися переменными.

y ′ + p(x) y = 0
Разделим переменные:
dx
dy + p( x) y = 0 ⇒
dy = − p( x)dx, интегрируя это выражение, получаем:
y
ln y = −∫ p( x)dx + ln C, где
y = Ce−∫ p( x)dx ,
ln C,
ln y = ln e−∫ p( x )dx
где
C > 0
C > 0
⇒
⇒
C ≠ 0
В процессе преобразований было потеряно решение y=0.
Тогда общее решение принимает вид:
∀C .
y = C ⋅ e−∫ p( x)dx ,
(2)

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение:
(1)
y ′ + p(x) ⋅ y = f(x) .
Существуют два метода его интегрирования.
⇒ Оно имеет вид
Метод вариации постоянной (метод Лагранжа)
Интегрируем однородное уравнение y ′ + p(x) ⋅ y = 0,
соответствующее данному неоднородному уравнению.
Его общее решение имеет вид :
y = C ⋅ e−∫ p( x)dx . (2)
2) Полагаем, что решение неоднородного уравнения по структуре совпадает с решением соответствующего линейного однородного уравнения.
y = C(x) ⋅ e−∫ p( x)dx .
Функцию C(x) найдем, подставив
у и y′ в исходное неоднородное уравнение (1).

y =
C( x) ⋅ e−∫ p( x)dx
⇒
dx dx
dy = dC ⋅ e−∫ p( x)dx − C( x) ⋅ e−∫ p( x)dx ⋅ p( x)
Подставим эти выражения в уравнение
+ p( x) y = f ( x) :
y′
dC ⋅ e−∫ p( x)dx − C( x) ⋅ e−∫ p( x)dx ⋅ p( x) + p( x) ⋅ C( x) ⋅ e−∫ p( x)dx = f ( x)
dx
dC ⋅ e−∫ p( x)dx = f (x)
dx
⇒
⇒
dx
dC = f (x) ⋅ e∫ p( x)dx
⇒ dC = f (x) ⋅ e∫ p( x)dxdx
Интегрируя, находим C(x) = ∫ f (x) ⋅ e∫ p( x)dxdx + C .

Таким образом, общее решение линейного неоднородного уравнения (1) имеет вид:
(3)
(4)
Заметим, что первое слагаемое в (4) – общее решение линейного однородного уравнения, а второе – частное решение линейного неоднородного уравнения (получается из общего решения при C = 0).
C(x) = ∫ f (x) ⋅ e∫ p( x)dxdx + C .
y(x) = C ⋅ e−∫ p( x)dx + e−∫ p( x)dx ⋅∫ f (x) ⋅ e∫ p( x)dxdx .
y = C( x) ⋅ e−∫ p( x)dx =( ∫ f ( x) ⋅ e∫ p( x)dxdx + C )e−∫ p( x)dx
Замечание.
Раскроем скобки в (3):

II) Метод Бернулли.
Будем искать решение (1) в следующем виде:
y = u(x) ⋅ v(x) .
Полагаем, что функция v(x) такова, что
[ v ′ + pv ] = 0 .
Тогда u ′ ⋅ v = f(x) .
(5)
Условия (5) позволяют однозначно определить v(x) и u(x) .
Первое уравнение – это линейное однородное уравнение
⇒
v(x) = Ce−∫ p( x)dx

Замечание. Линейное неоднородное уравнение вида
y ′ + p(x) ⋅ y = b
проще интегрировать как уравнение с разделяющимися переменными.
u( x) = ∫ f ( x) ⋅ e∫ p( x)dxdx + C
⎥⎦
⎤
⎡
⎢⎣
∫
⋅
∫
∫
dx + C .
p( x)dx
p( x)dx
f ( x) ⋅ e
⇒ y = u( x) ⋅ v( x) = e
Учитывая свободу выбора v(x), положим С = 1, тогда
v( x) = e−∫ p( x)dx .
Подставляем полученную функцию во второе уравнение:
dx
du ⋅ e−∫ p( x)dx = f (x)
⇒
du = f (x) ⋅ e∫ p( x)dxdx
⇒

Уравнения Бернулли
(6)
Уравнением Бернулли называется уравнение вида
y ′ + p(x) ⋅ y = q(x) ⋅ y n ,
где p(x) , q(x) – заданные непрерывные функции, n ≠ 0 , n ≠ 1
при n= 0 имеем линейное уравнение
при n = 1 уравнение с разделяющимися переменными
Уравнение Бернулли можно привести к линейному уравнению. Для этого надо
обе части уравнения (6) разделить на y n ,
сделать замену z = y 1– n .
Разделим обе части уравнения на yn :

1−n
Пусть z = y ⇒
dx dx
dz
−n dy
= (1 − n) y
⇒
dz
dy
yn
=
y =
′
dx 1 − n dx
Подставляем эти выражения в уравнение
yn
y ′ y − n + p(x) ⋅ y1−n = f (x) ⇒ ⋅ 1 dz + p(x)z = f (x)
1 − n yn dx
⇒
1
dz + p(x)z = f (x)
1− n dx
⇒
dx
dz + (1− n) ⋅ p(x) ⋅ z = (1− n) ⋅ f (x)
– линейное уравнение относительно z и z ′
Замечания.
1) Уравнение Бернулли при n > 0 имеет решение y = 0 . Оно будет частным решением при n > 1 (обычно входит в общее при C = ∞) и особым при 0 < n < 1 .