Древнекитайское доказательство

2. Доказательство Дж. Гардфилда (1882 г.)
Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого.
Площадь рассматриваемой трапеции находится как произведение полусуммы оснований на высоту
S = (a + b)
C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников:
S = 2 +
Приравнивая данные выражения, получаем:
+ =
или с2 = a2 + b2

3. Доказательство простейшее
Это доказательство получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника.
Вероятно, с него и начиналась теорема.
В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы.
Например, для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.

4. Старейшее доказательство
Пусть АВСD квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВЕ (АВ = с, ВЕ = а, АЕ = b);
Пусть СК ВЕ = а, DL CK, AM DL =} ΔABE = ∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,
значит KL = LM = ME = EK = a-b.
c² = + (a – b)²
c² = 2ab + a² - 2ab + b²
c² = a² + b²..

5. Доказательство древних индусов
Квадрат со стороной (a+b), можно разбить на части либо как на рисунке а), либо как на рисунке b). Ясно, что части 1,2,3,4 на обоих рисунках одинаковы. А если от равных (площадей) отнять равные, то и останутся равные, т.е.
с2 = а2 + b2.
Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали лишь одним словом:
Смотри!