Геометрические приложения определенного интеграла

Пример.
Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями:

Решение:
S

Находим координаты точки В:
Тогда

2
Пусть функция y=f(x) – неположительная и непрерывна на [a,b]. Отражая кривую y=f(x) относительно оси абсцисс, получаем кривую с уравнением y=-f(x).
Функция y=-f(x) – уже неотрицательна на [a,b] и площадь под этой кривой на [a,b] равна искомой площади.

Пример.
Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями:

Решение:

SОАВ – это площадь над кривой ОАВ на отрезке [0;2]. Но эта кривая задается не одним уравнением, поэтому разбиваем площадь ОАВ на части, проецируя точку А на ось х.
Находим координаты точек О(0,0), В(2,0), А(1,-1).

3
Пусть функция y=f(x) – непрерывна на [a,b] и исходный отрезок можно разбить на определенное число интервалов, таких что на каждом из них y=f(x) знакопостоянна или равна 0.
Тогда общая площадь под кривой будет равна сумме площадей на каждом из отрезков разбиения:

S
S
S

4
Теорема.
Пусть на [a,b] заданы непрерывные функции y=f1(x) и y=f2(x), такие что
Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми y=f1(x) и y=f2(x) на [a,b] находится по формуле:

Проиллюстрируем эту теорему графически. Рассмотрим несколько случаев.
1

2

3

4
Общий случай.
Этот случай сводится к рассмотренным случаям 1-3, если разбить отрезок [a,b] на элементарные отрезки.

Пример.
Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями:

Решение:
Находим координаты точек пересечения линий:
Следовательно, линии пересекаются в точках

2. Вычисление объемов тел вращения
Пусть функция y=f(x) –знакопостоянная и непрерывна на [a,b]. Найти объем тела Vх, образованного вращением вокруг оси х криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y=f(x), y=0, x=a, x=b.
Разобьем [a,b] на элементарные отрезки точками
и на каждом из отрезков выберем точку ξi. Найдем значение функции в этой точке

Тогда некоторое приближение для искомого объема даст сумма
Так как каждое слагаемое это объем цилиндра с высотой
и радиусом основания
Искомый объем будет тем точнее, чем меньше длина отрезков разбиения
Поэтому за объем естественно выбрать

Правая часть выражения представляет собой предел интегральной суммы функции
Поэтому

Пример.
Вычислить объем тела,
полученного от вращения вокруг оси
абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

Решение:

Если заменить х на у, то получим формулу для вычисления объема тела, полученного от вращения криволинейной трапеции вокруг оси у.

Пример.
Вычислить объем тела,
полученного от вращения вокруг оси
ординат фигуры, ограниченной линиями:

Решение: