Слайд 2Пример 9.
Решить систему уравнений, используя формулы Крамера:
Решение:
Найдем определитель основной матрицы системы:
![Пример 9. Решить систему уравнений, используя формулы Крамера: Решение: Найдем определитель основной матрицы системы:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1017431/slide-1.jpg)
Слайд 3, , следовательно, система имеет единственное решение.Найдем его по формулам Крамера:
где
![, , следовательно, система имеет единственное решение.Найдем его по формулам Крамера: где](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1017431/slide-2.jpg)
Слайд 4Итак,
Пример 10. Исследовать на совместность и решить систему методом Гаусса:
;
![Итак, Пример 10. Исследовать на совместность и решить систему методом Гаусса: ;](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1017431/slide-3.jpg)
Слайд 5Решение.Найдем ранг расширенной матрицы системы, выполнив элементарные преобразования строк:
~
~
~
~
~
![Решение.Найдем ранг расширенной матрицы системы, выполнив элементарные преобразования строк: ~ ~ ~ ~ ~](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1017431/slide-4.jpg)
Слайд 6Очевидно, что r(А) = r( )=4, следовательно, система совместна
Очевидно, что r(А) =
![Очевидно, что r(А) = r( )=4, следовательно, система совместна Очевидно, что r(А)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1017431/slide-5.jpg)
r( )=4, следовательно, система совместна, причем имеет единственное решение. Запишем систему, соответствующую последней матрице:
Находим значения неизвестных:
Слайд 7
Находим значения неизвестных:
Итак, решение системы:
![Находим значения неизвестных: Итак, решение системы:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1017431/slide-6.jpg)
Слайд 8Пример 11. Исследовать систему линейных уравнений
и в случае совместности решить ее методом
![Пример 11. Исследовать систему линейных уравнений и в случае совместности решить ее](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1017431/slide-7.jpg)
Гаусса.
Решение
При исследовании системы линейных уравнений используем теорему Кронекера–Капелли: система линейных уравнений совместна, тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
Слайд 9Составим расширенную матрицу системы
Чтобы определить ранг матрицы, приведем ее к ступенчатому виду
![Составим расширенную матрицу системы Чтобы определить ранг матрицы, приведем ее к ступенчатому](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1017431/slide-8.jpg)
с помощью элементарных преобразований строк. Матрицы, получаемые после преобразований, являются эквивалентными. Будем обозначать это знаком .
Прибавим сначала ко второй строке первую, умноженную на , а затем к третьей – первую, умноженную на 3:
Слайд 10
Умножим вторую строку матрицы на , третью строку умножим на , получим
![Умножим вторую строку матрицы на , третью строку умножим на , получим](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1017431/slide-9.jpg)
матрицу
Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на -1 , и получим
Слайд 11Ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы и равен 2, следовательно, система
![Ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы и равен 2, следовательно, система](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1017431/slide-10.jpg)
имеет решение. Так как ранг матрицы меньше, чем количество переменных в системе, то система имеет бесконечно много решений. Чтобы найти решения, прибавим к первой строке вторую строку, умноженную на -2 :