Контрольная работа № 1. Вариант 0

Пример 9.
Решить систему уравнений, используя формулы Крамера:
Решение:
Найдем определитель основной матрицы системы:

, , следовательно, система имеет единственное решение.Найдем его по формулам Крамера:
где

Итак,
Пример 10. Исследовать на совместность и решить систему методом Гаусса:
;

Решение.Найдем ранг расширенной матрицы системы, выполнив элементарные преобразования строк:
~
~
~
~
~

Очевидно, что r(А) = r( )=4, следовательно, система совместна
Очевидно, что r(А) = r( )=4, следовательно, система совместна, причем имеет единственное решение. Запишем систему, соответствующую последней матрице:
Находим значения неизвестных:

Находим значения неизвестных:
Итак, решение системы:

Пример 11. Исследовать систему линейных уравнений
и в случае совместности решить ее методом Гаусса.
Решение
При исследовании системы линейных уравнений используем теорему Кронекера–Капелли: система линейных уравнений совместна, тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Составим расширенную матрицу системы
Чтобы определить ранг матрицы, приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Матрицы, получаемые после преобразований, являются эквивалентными. Будем обозначать это знаком .
Прибавим сначала ко второй строке первую, умноженную на , а затем к третьей – первую, умноженную на 3:

Умножим вторую строку матрицы на , третью строку умножим на , получим матрицу
Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на -1 , и получим

Ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы и равен 2, следовательно, система имеет решение. Так как ранг матрицы меньше, чем количество переменных в системе, то система имеет бесконечно много решений. Чтобы найти решения, прибавим к первой строке вторую строку, умноженную на -2 :