методы решения тригонометрических уравнений

I. СВЕДЕНИЕ К АЛГЕБРАИЧЕСКОМУ.

Пример:
Пусть .
Уравнение примет вид:
- не удовлетворяет условию
Ответ: .

II. ОДНОРОДНЫЕ И СВОДИМЫЕ К НИМ.

Уравнение вида
называется однородным уравнением I степени.

Пример:
Множество значений x, удовлетворяющих уравнению
, не является решением данного уравнения. Поэтому можно обе части уравнения разделить на .
Получим:
Ответ: .

Уравнение вида
называется однородным уравнением II степени.

Пример:
Решение:
Множество значений x, удовлетворяющих уравнению , не является решением данного уравнения.
Разделим обе части уравнения на .
Получим:

Пусть .
Уравнение примет вид:
Ответ:

III. ЕСЛИ В УРАВНЕНИИ СОДЕРЖИТСЯ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ SIN(АX)SIN(BX), SIN(AX)COS(BX), COS(AX)COS(BX), ТО ТАКИЕ УРАВНЕНИЯ РЕШАЮТСЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ПРОИЗВЕДЕНИЯ В СУММУ (РАЗНОСТЬ) И НАОБОРОТ.

При этом применяют тождества:

Пример 1.
Ответ: .
или

Пример 2.
Ответ: .

IV. ПОНИЖЕНИЕ СТЕПЕНИ.

Если в уравнении содержатся чётные степени sinx и cosx, то понижают степень уравнения с применением понижающих формул:

Пример.
Ответ:

V. РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ.

ПРИМЕР.

VI. ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО АРГУМЕНТА.

Пример
Решение:
Разделим обе части уравнения на
Получаем:
Ответ:

VII. ПРИМЕНЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНОЙ ПОДСТАНОВКИ.

УНИВЕРСАЛЬНАЯ ПОДСТАНОВКА:

Пример
Решение:
Пусть: . Уравнение примет вид . О.Д.З. .
не удовлетворяет условию
Ответ: ; .

Пример 2:
Решение:
Проверка:
Ответ: ; .

VIII. ВВЕДЕНИЕ НОВОГО ПЕРЕМЕННОГО.

! Если в уравнении содержится сумма или разность sinx и cosx и их произведения, то уравнение решается введением нового переменного:

Пример:
Пусть:
(Решите самостоятельно)

IX. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОНЯТИЯ ОГРАНИЧЕННОСТИ (МИНИМАКС).

Пример:
k –целое
Ответ: .