Основы математического моделирования. Лекция 2

Математическое моделирование – это идеальное научное знаковое формальное моделирование, при котором описание объекта осуществляется на языке математики, а исследование модели проводится с использованием тех или иных математических методов.
Моделирование – метод познания окружающего мира, который можно отнести к общенаучным методам, применяемым как на эмпирическом, так и на теоретическом уровне познания.
При построении и исследовании модели могут применяться практически все остальные методы познания.
Под моделью понимается такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты.
Процесс построения и использования модели называется моделированием.
Другими словами, модель – это объект-заменитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых интересующих исследователя свойств оригинала.
Любая модель нетождествена объекту-оригиналу, поскольку при ее построении исследователь учитывал лишь важнейшие с его точки зрения факторы.
В этом отношении любая модель является неполной.
«Полная» модель, очевидно, будет полностью тождественна оригиналу (Норберт Винер: наилучшей моделью кота является другой кот, а еще лучше – тот же самый кот).

Если результаты моделирования удовлетворяют исследователя и могут служить основой для прогнозирования поведения или свойств исследуемого объекта, то говорят, что модель адекватна объекту.
Адекватность модели зависит от целей моделирования и принятых критериев.
Идеально адекватная модель принципиально невозможна в силу неполноты модели.
В качестве одной из характеристик модели может выступать простота (или сложность) модели.
Важнейшим свойством модели является потенциальность модели, или её предсказательность с позиций получения новых знаний об исследуемом объекте: мы хотим получать от модели больше, чем в нее вложили.
Эта «дерзость», «собственный ум» моделей – есть проявление множества внутренних связей, осознать совместное действие (синергетические эффекты) которых их создатели зачастую не в состоянии (по крайней мере, на стадии разработки).

Модель нужна для того, чтобы:
понять, как устроен конкретный объект: какова его структура, внутренние связи, основные свойства, законы развития, саморазвития и взаимодействия с окружающей средой;
научиться управлять объектом или процессом, определять наилучшие способы управления при заданных целях и критериях;
прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект.
Знаковым называется моделирование, использующее в качестве моделей знаковые изображения какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, иероглифы, наборы символов, включающее также совокупность законов и правил, по которым можно оперировать с выбранными знаковыми образованиями и элементами.
Моделирование с помощью математических соотношений (математическое моделирование) является примером знакового моделирования.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Математическое моделирование – это идеальное научное знаковое формальное моделирование, при котором описание объекта осуществляется на языке математики, а исследование модели проводится с использованием тех или иных математических методов.
В настоящее время математическое моделирование это один из самых результативных и наиболее часто применяемых методов научного исследования.
Математическое моделирование имеет следующие преимущества:
1) экономичность (в частности, сбережение ресурсов реальной системы);
2) возможность моделирования гипотетических, то есть не реализуемых в природе объектов (прежде всего на разных этапах проектирования);
3) возможность реализации режимов опасных или трудновоспроизводимых в натуре (критический режим ядерного реактора, работа системы противоракетной обороны);
4) возможность изменения масштабов времени; простота многоаспектного анализа;
5) большая прогностическая сила вследствие возможности выявления общих закономерностей;
6) универсальность технического и программного обеспечения проводимой работы (ЭВМ, системы программирования и пакеты прикладных программ широкого назначения).

Методы математического программирования
В зависимости от вида построенной модели, математические модели разделяются на:
1) линейные;
2) нелинейные.
Для исследования математических моделей используются методы математического программирования.
В наших лекциях, мы остановимся на линейных моделях.
Методы линейного математического программирования:
1) Графический метод решения задач линейного программирования.
2) Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
3) Инструментальный метод решения задач линейного программирования.

Составление экономико-математической модели задачи и ее решение
графическим методом для задачи линейного программирования
Модель задачи линейного программирования, заданной в стандартной форме, такова:
Т. е., строится целевая функция, которую надо оптимизировать (максимизировать или минимизировать), при этом существуют ограничения, накладываемые на модель, которым она должна удовлетворять. Все ограничения сводятся в систему ограничений.
где f и gi – заданные линейные функции, а bi – вещественные числа

Пример линейной задачи математического программирования
Фирме А предстоит решить, какое количество x1 чистой стали и какое количество x2 металлолома следует использовать для приготовления (из соответствующего сплава) литья для одного из своих заказчиков. Пусть производственные затраты в расчете на 1 т чистой стали равняются 3 усл. ед., а затраты на 1 т металлолома – 5 усл. ед. (последняя цифра больше предыдущей, так как использование металлолома сопряжено с его предварительной очисткой). Заказ предусматривает поставку не менее 5 т литья, если фирма А поставит перед ним такие условия. Предположим, что запасы чистой стали ограничены и не превышают 6 т. Отношение веса металлолома к весу чистой стали в процессе получения сплава не должно превышать 7:8. Производственно-технологические условия таковы, что на процессы плавки и литья не может быть отведено более 18 ч; при этом на 1 т стали уходит 3 ч, а на 1т металлолома – 2 ч производственного времени.

По условию задачи построена математическая модель
Функция F – целевая, которую надо минимизировать, также приведена система ограничений.
Для исследования этой модели и поиска её решения можно применять все перечисленные методы линейного математического программирования.
Мы, в дальнейшей работе, остановимся на инструментальных методах решения.