Преобразования графиков функций

Пусть y=f(x)- заданная функция. График этой функции может быть подвергнут преобразованиям:
y = f(x)+a
y = f(x+a)
y = - y = - y = - f(x)
y = f(-x)
y = |f(x)|
y = f(|x|)
y = аf(x)
y = f(аx)
комбинации преобразований
Примечание: После рассмотрения каждого из выделенных видов
преобразований Вы можете вернуться на этой слайд,
воспользовавшись гиперссылкой «Возврат».

Заметим, что в уравнении функции y = f(x)+a «а»- слагаемое при f(x).
Значит: при одном значении аргумента значение функции y = f(x)+a отличается от значения функции y= f(x) на «а», то есть:
# Если а>0, то значение функции y = f(x)+a больше значения функции y = f(x) на «a».
# Если а<0, то значение функции y = f(x)+a меньше значения функции y = f(x) на «|a|».
Взаимное расположение графиков в выделенных случаях проиллюстрировано на Рис.1.
Преобразование y=f(x)+a

Практический прием построения графика функции y = f(x)+a преобразованием графика функции y = f(x):
Чтобы построить график функции y = f(x)+a , можно график функции y = f(x) подвергнуть параллельному переносу на |a| единиц
вверх, если а>0,
вниз, если а<0.
y = f(x)
y = f(x)+a (а>0)
y = f(x)+a (а<0)

Возврат
Элементы самоконтроля (правильности построения графика):
Аналитическим путем
найти область определения функции и сопоставить с соответствующим свойством графика;
найти множество значений функции и сопоставить с соответствующим свойством графика;
найти корни функции и сравнить их с абсциссами (абсциссой) точек пересечения графика с осью абсцисс;
найти ординату точки пересечения графика функции с осью ординат и сравнить с соответствующей характеристикой точки графика
Замечание:
если график основной функции y = f(x) имеет асимптоты, то и результатирующий график, полученный в результате преобразования (композиции преобразований) также имеет асимптоты.

Преобразование y=f(x+a)
1. Сравнивая уравнения функций y = f(x) и y = f(x+a), заметим, что «a» - слагаемое при аргументе.
2. Чтобы установить взаимное расположение графиков выделенных функций, выясним взаимосвязь аргументов этих функций при равных значениях функций.
3. Пусть (х0,y0) – координаты точки графика y=f(x), а (х1,y0) – координаты соответствующей точки графика функции y=f(x+а).
То есть верны равенства: y0= f(х0), y0= f(х1 +а).
Отсюда верно равенство: х0= х1 +а
или х1 = х0- а
Последнее равенство говорит о том, что:
# если а>0, то х1<х0 на «|а|»,
# если а <0, то х1>х0 на «|а|».

Полученные выводы дают обоснование взаимному расположению графиков функций y=f(x) и y=f(x+a):
если а>0, то для получения графика функции y=f(x+a) можно график функции y=f(x) «сдвинуть» на «|а|» влево;
если а <0, то для получения графика функции y=f(x+a) можно график функции y=f(x) «сдвинуть» на «|а|» вправо (движение вдоль оси абсцисс).
y=f(x)
y=f(x+a)
y=f(x+a)

Преобразование y=-f(x)
Уравнение функции y = - f(x) можно привести к виду y = (-1)f(x).
Не трудно заметить, что при одном значении аргумента значение функции y = - f(x) противоположно значению функции y= f(x).
Это означает, что если точка с координатами (х0,y0) – точка графика y=f(x), то точка с координатами (х0,- y0) – точка графика y= - f(x).
По свойству взаимного расположения точек координатной плоскости: точки с равными абсциссами и противоположными ординатами симметричны относительно оси абсцисс.
Вывод: График функции y = - f(x) можно получить из графика функции y = f(x), выполнив преобразование «осевая симметрия относительно оси абсцисс».
Взаимное расположение графиков продемонстрировано на Рис.3

При выполнении симметрии относительно оси абсцисс целесообразно помнить:
отрезки переходят в равные отрезки, прямые – в прямые, кривые – в равные им кривые;
характеристические точки основного графика переходят в симметричные им точки относительно оси абсцисс;
точки пересечения основного графика с осью абсцисс отображаются на себя (остаются на месте)
если мысленно перегнуть плоскость по оси абсцисс, графики функций «наложатся» друг на друга
y = f(x)
y = - f(x)

Преобразование y=f(-x)
1. Чтобы установить взаимное расположение графиков выделенных функций, выясним взаимосвязь аргументов этих функций при равных значениях функций.
2. Сравнивая уравнения функций y = f(- x) и y = f(x), заметим, что аргументы противоположны.
3. Пусть (х0,y0) – координаты точки графика y=f(x), а (х1,y0) – координаты соответствующей точки графика функции y=f(- x).
То есть верны равенства: y0=f(х0), y0=f(х1). Отсюда верно равенство: х0= - х1 или х1 = - х0
Вывод: Если аргументы функций противоположны, то значения функций равны.

Геометрической интерпретацией полученного вывода является утверждение: если точка с координатами (х0,y0) – точка графика y=f(x), то точка с координатами (- х0, y0) – точка графика y= f(- x).
По свойству взаимного расположения точек координатной плоскости: точки с противоположными абсциссами и равными ординатами симметричны относительно оси ординат.
Вывод: График функции y = f(- x) можно получить из графика функции y = f(x), выполнив преобразование «осевая симметрия относительно оси ординат».
Взаимное расположение графиков продемонстрировано на Рис.4

При выполнении симметрии относительно оси ординат целесообразно помнить:
отрезки переходят в равные отрезки, прямые – в прямые, кривые – в равные им кривые;
характеристические точки основного графика переходят в симметричные им точки относительно оси ординат;
точка пересечения основного графика с осью ординат отображается на себя (остается на месте)
если мысленно перегнуть плоскость по оси ординат, графики функций «наложатся» друг на друга
y=f(x)
y=f(-x)

Преобразование y=|f(x)|
Значит, для построения графика функции y=|f(x)|, можно в одной системе координат построить графики функций y=f(x) (основной график) и y=- f(x) (симметрия основного графика относительно оси абсцисс).
Графиком функции y=|f(x)| будет объединение множеств точек:
графика функции y=f(x) на том множестве области определения, на котором f(x) ≥ 0,
графика функции y=- f(x) на том множестве области определения, на котором f(x)<0.
Этапы построения графиков выделены на Рис.5-6.
Уравнение функции y=|f(x)| можно записать в виде:
y=
f(x), если f(x) ≥ 0
- f(x), если f(x) <0

y=f(x)
y=- f(x)
Результатирующий график y=|f(x)|
Практический прием: Для построения графика функции y=|f(x)| преобразованием графика y=f(x) можно:
множество точек графика y=f(x), расположенных в верхней полуплоскости, оставить на месте,
множество точек графика y=f(x), расположенных в нижней полуплоскости, отобразить в верхнюю полуплоскость преобразованием «осевая симметрия» относительно оси абсцисс.

Преобразование y=f(|x|)
Уравнение функции y=f(|x|) можно записать в виде:
y=
f(x), если x ≥ 0
f(-x), если x < 0
Значит, для построения графика функции y=f(|x|) можно в одной системе координат построить графики функций y=f(x) (основной график) и y=f(-x) (симметрия основного графика относительно оси ординат).
Графиком функции y=f(|x|) будет объединение множеств точек:
графика функции y=f(x) на том множестве области определения, на котором x ≥ 0,
графика функции y= f(-x) на том множестве области определения, на котором x <0.
Этапы построения графиков выделены на Рис.7-8.

y=f(x)
y= f(- x)
Результатирующий график y=f(|x|)
Практический прием: Для построения графика функции y=f(|x|) преобразованием графика y=f(x) можно:
множество точек графика y=f(x), расположенных в правой полуплоскости, оставить на месте,
множество точек графика y=f(x), расположенных в правой полуплоскости, отобразить в левую полуплоскость преобразованием «осевая симметрия» относительно оси ординат,
Замечание: Множество точек основного графика y=f(x), расположенные в левой полуплоскости «исчезают».

Преобразование у=af(x)
Преобразование у=af(x) рассмотрим при а>0, выделяя случаи: 0<а<1 и а >1.
Замечание: Если а<0, то график функции у=af(x) можно построить подвергнув график функции y=f(x) композиции преобразований y=-f(x) и у=af(x) при а>0.
Заметим, что в уравнении функции y = аf(x) «а»- сомножитель при f(x).
Значит: при одном значении аргумента модуль значения функции y = аf(x) равен произведению модуля значения функции y= f(x) и «а», то есть:
# Если 0<а<1 , то модуль значения функции y = аf(x) меньше модуля значения функции y = f(x).
# Если а >1, то модуль значения функции y = аf(x) больше модуля значения функции y = f(x).
Дадим иллюстрацию взаимного расположения графиков в выделенных случаях при а=1/2 (Рис.9 Дадим иллюстрацию взаимного расположения графиков в выделенных случаях при а=1/2 (Рис.9) и а=2 (Рис.10).

y=f(x)
y=f(x)
y=1/2f(x)
y= 2f(x)
В этом случае говорят: произошло сжатие графика функции y=f(x) к оси абсцисс.
В этом случае говорят: произошло растяжение графика функции y=f(x) от оси абсцисс.
Заметьте, что во всех рассмотренных случаях точки оси абсцисс не изменили своего положения, то есть остались на месте.

Преобразование y=f(ax)
Преобразование у=f(аx) рассмотрим при а>0, выделяя случаи: 0<а<1 и а >1.
Замечание: Если а<0, то график функции у=f(аx) можно построить подвергнув график функции y=f(x) композиции преобразований y=f(-x) и у=f(аx) при а>0.
Чтобы установить взаимное расположение графиков выделенных функций, выясним взаимосвязь аргументов этих функций при равных значениях функций.
Пусть (х0,y0) – координаты точки графика y=f(x), а (х1,y0) – координаты соответствующей точки графика функции y=f(аx).
То есть верны равенства: y0=f(х0), y0=f(ах1). Отсюда верно равенство: х0=ах1 или х1 =1/а ⋅ х0
Последнее равенство позволяет сделать следующие выводы:
1. Если 0<а<1, то (1/а )>1, то есть |х1 | > | х0 | в (1/а) раз.

Геометрическая интерпретация этого факта: соответствующие точки графиков функций y=f(x) и у=f(аx) имеют равные ординаты, а соотношение модулей их абсцисс равно (1/а), причем модуль абсциссы графика функции у=f(аx) в 1/а раз больше.
Иллюстрацию этого случая рассмотрим на примере взаимного расположения графиков функций y=f(x) и у=f(1/2·x).
y=f(x)
у=f(1/2·x)
В этом случае говорят: произошло растяжение графика функции y=f(x) от оси ординат.
Заметьте, что точка оси ординат не изменила своего положения, то есть осталась на месте.

2. Если а>1, то (1/а ) <1, то есть |х1 | < | х0 | в (а) раз.
Геометрическая интерпретация этого факта: соответствующие точки графиков функций y=f(x) и у=f(аx) имеют равные ординаты, а соотношение модулей их абсцисс равно (1/а), причем модуль абсциссы графика функции у=f(аx) в (а) раз меньше.
Иллюстрацию этого случая рассмотрим на примере взаимного расположения графиков функций y=f(x) и у=f(2·x).
y=f(x)
у=f(2·x)
В этом случае говорят: произошло сжатие графика функции y=f(x) к оси ординат.
Заметьте, что точка оси ординат не изменила своего положения, то есть осталась на месте.

Комбинации преобразований
y=f(x) y=|f(x)| Преобразование y=f(|x|) y=f(|x|) у=af(x) Преобразование у=af(x) y=f(ax) Преобразование y=f(ax)