Происхождение неевклидовой геометрии

Цель – исследовать влияние пятого постулата Евклида на развитие математики 19 и 20 века.
Задачи:
раскрыть роль Николая Ивановича Лобачевского (1792 – 1856) в развитии неевклидовой геометрии, рассказать об интерпретациях неевклидовой геометрии.

«Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — очень хитрое математическое колдунство по типу всем известной геометрии Евклида, но с небольшим отличием, делающим ее невозможной для понимания 95% населения», - отмечает автор статьи на сайте lurkmorе.
«Математики открыли дверь, ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней» (Эшер Мауриц Корнелис — голландский художник) художник

В начале XIX века общий уровень математики начал расти на глазах изумленной публики, переведя её из состояния «обобщим и углубим наследие древних греков» в состояние «давайте придумаем что-нибудь новое».
Карл Фридрих Гаусс
Янош Бо́йяи

Карл Фридрих Гаусс - «Король математиков» не оставил без внимания «пятый постулат» евклидовой геометрии. Он пришел к выводу, что эту аксиому нельзя вывести из других и занимался разработкой неевклидовой геометрии, однако никогда не публиковал своих идей на этот счёт, т.к. всерьёз опасался, что коллеги примут его за сумасшедшего.
Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)

Янош Бо́йяи уже в колледже настолько увлёкся исследованием пятого постулата Евклида, что отец – математик с тревогой советовал Яношу: «Ты должен бросить это как самое гнусное извращение. Оно может отнять у тебя всё время, здоровье, разум, все радости жизни».
Янош не послушался папу и продолжит исследования. В результате, когда Бо́йяи послали работу Яноша Гауссу, немецкий математик сообщил венгерскому коллеге, что русский учёный Лобачевский опередил его и опубликовал аналогичную работу 3 года назад. В результате, Янош Бо́йяи сошел с ума и пытался покончить с собой.
Янош Бо́йяи (1802-1860)

Классический постулат Евклида (5-я аксиома геометрии): В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.
В геометрии Лобачевского используется другая аксиома: В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие её.

Геометрия Лобачевского вполне доступна для понимания. Идея отказаться от одной аксиомы в пользу другой не кажется такой уж сложной. Почему же две тысячи лет отнюдь не глупые учёные дяденьки так безнадёжно топтались на месте? Почему Николай Иванович (а также Гаусс и Бойяи) такой молодец? В 19 веке учёные воспринимали аксиомы Евклида почти как религиозные догмы. Для математиков прошлого заменить одну аксиому на другую было чем-то сродни замены одной заповеди на другую. Подумайте, что сделали бы с тем, кто предложил бы заменить
«не укради» на «укради немедленно»?

В 1829 году вышла первая работа Лобачевского по неевклидовой геометрии. Основная проблема была в том, что свои исследования Николай Иванович проводил на языке формул и не смог предложить геометрическую интерпретацию, то есть «картинку». Это было сложно и непонятно для окружающих. В результате Лобачевский подвергся травле со стороны коллег математиков. В результате учёный лишился должности ректора Казанского университета.

Признание к Лобачевскому пришло только после смерти, когда другие математики придумали наглядные модели для его геометрии.
Модель Пуанкаре в круге.
Рыбки Эшера в геометрии Лобачевского.
«Плоскостью» в модели Пуанкаре называется внутренность круга радиуса 1, а «прямыми» — дуги окружностей, перпендикулярных границе этого круга . Граница круга называется абсолютом и считается не принадлежащей плоскости. Через точку A, не лежащую на прямой l, действительно можно провести множество прямых, не пересекающих l.

Работы Николая Ивановича и прочих борцов за неевклидовость во многом перевернули математику как науку. Родились новые разделы математики, старые вышли на новый уровень. Общая теория относительности тоже живёт в неевклидовом пространстве. Риманова геометрия – антипод геометрии Лобачевского, в ней через данную точку нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной. Она реализуется, например, на сфере.
Сферическая геометрия как отдельный раздел применяется при навигации.