Роль и место математики в современном мире. Пределы, их свойства (лекция 1)

План:
Роль и место математики
в современном мире
Понятие функции и способы
ее задания
Классификация функций
Основные свойства функций
Обратные функции

В любой науке столько истины, сколько в ней математики.
И.Кант
Роль и место математики в современном мире

МАТЕМАТИКА - область человеческого знания, изучающая математические модели, отражающие объективные свойства и связи.
Математика
(греч. mathematike, mathema - знание, наука)

Современное понятие математики - наука о математических структурах (множествах, между элементами которых определены некоторые отношения).

1 период (с древнейших времен до VIII-VII вв до н.э.) – зарождение математики
2 период (с VI-V вв до н.э. до XVI в н.э.) – становление математики постоянных величин
3 период (XVII-начало XIX вв) – эпоха математики переменных величин
4 период (со второй половины XIX в и по настоящее время) – бурное развитие математики, применение ее в различных областях человеческой деятельности

2.Понятие функции и способы
ее задания

Функция – зависимость переменной y
от переменной x, при которой каждому значению x соответствует единственное значение y.
y = f(х), где
x–независимая переменная или аргумент
y – зависимая переменная

Способы задания функции
1.Аналитический (Формулой)
у = 3х-15
2.Таблицей
3. Геометрический (Графиком)

Простейшие элементарные функции
3.Классификация функций

Линейная функция и ее график
y = kx + b, где k и b - некоторые действительные числа
Графиком линейной функции является прямая.
k – угловой коэффициент прямой
k = t q α

Частные случаи линейной функции
1. Если b = 0, то линейная функция называется прямой пропорциональностью.
2.Если k = 0, то линейная функция называется постоянной.
у
х
у = k х
y = b
у
х
0
0

Квадратичная функция
и ее график
у = ах2+вх + с, где а, в, с – некоторые числа, причем а ≠ 0
а) а > 0
б) а < 0
График - парабола
ветви вверх ветви вниз
0
0

Степенная функция и ее график
y = xn, где n – натуральное число
1) n – четное, 2) n - нечетное
х
у
х
у
0
0

Степенная функция и ее график
y = xn
n-натуральное число
n-целое отрицательное число
n-нецелое действительное число

Функция обратная пропорциональность и ее график
y = , где k – число, отличное от 0. (x ≠ 0)
у
Графиком является гипербола
k > 0
k < 0
х
х
у
0
0

Функция y = | x|
D (y) = R ; E (y) = [0;+∞) .
x
y
0

Показательная функция у=ах
0
x
y
1
1

0 1
Логарифмическая функция y=logax
α >1
0<α <1

Тригонометрические функции

D(y)=(-∞;+∞)
E(y)=[-1;1]
Период Т=2π
Нечетная функция
D(y)=(-∞;+∞)
E(y)=[-1;1]
Период Т=2π
Четная функция
E(y)=(-∞;+∞)
Период Т=π
Нечетная функция
Возрастает
D(y)=(-πk;2πk)
E(y)=(-∞;+∞)
Период Т=π
Нечетная функция
Убывает

Обратные тригонометрические функции

4. Свойства функции
Область определения функции D(у)
Множество значений функции Е(у)
Четность функции
Промежутки монотонности (промежутки возрастания и убывания функции)
Ограниченность функции
Наибольшее и наименьшее значение функции
Периодичность функции
Непрерывность функции

1. Область определения функции – все значения, которые принимает независимая переменная.
Обозначается : D (f).
2.Область (множество) значений функции – все значения, которые принимает зависимая переменная.
Обозначается : E (f).

Область определения функции D (f) – симметричное
множество;
2. Для любого х ∈ Х выполняется равенство:
3.Четность функции

Определение 1.
Функция у = f (х) называют возрастающей на промежутке Х, если из неравенства х1 < х2, где х1 и х2 – любые две точки промежутка Х, следует неравенство f (х1) < f (х2).
Определение 2.
Функция у = f (х) называют убывающей на промежутке Х, если из неравенства х1 < х2, где х1 и х2 – любые две точки промежутка Х, следует неравенство f (х1) > f (х2).
у
х
у
х
о
о
х1
х2
х1
х2
f (x1)
f (x2)
f (x2)
f (x1)
4. Промежутки монотонности

ПРИМЕР:
Линейная функция у = kx + m.
1. Если k > 0, то функция возрастает на всей числовой прямой.
2. Если k < 0, то функция убывает на всей числовой прямой.
у
х
о
у=kx+m,k>0
у
х
о
у=kx+m,k<0

ПРИМЕР: Функция у = х2
х
о
у
у=х2
у = х2, х ∈ [0,+∞)
Итак, если х1 < х2, то f (x1) < f (x2), значит функция у=х2 возрастает на луче [0,+∞).
2. у = х2, х ∈(-∞,0]
Итак, если х1 < х2, то f (x1) > f (x2), значит функция у=х2 убывает на луче (-∞,0] .

5. Ограниченность функции
Функция у = f (x) называют ограниченной снизу на множестве Х ⊂ D (f),
если все значения функции на множестве Х больше некоторого числа.
если существует число m такое, что для любого значения х ∈ Х выполняется неравенство f (x) > m.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции
Число m называют наименьшим значением функции
у = f (x) на множестве Х ⊂ D (f), если:
в Х существует такая точка х0, что f (x0) = m;
для всех х из Х выполняется неравенство f (x) ≥ f (x0).
Число M называют наибольшим значением функции
у = f (x) на множестве Х ⊂ D (f), если:
в Х существует такая точка х0, что f (x0) =M;
для всех х из Х выполняется неравенство f (x) ≤ f (x0).

М
m

7. Периодичность функции
х
у
0
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x)= f(x-T)
Т-период функции
y=cosx
Т=2π

8. Непрерывность функции
х
у
0
х
у
0
Непрерывная функция
Не непрерывная функция

5. Обратные функции

Если функция у = f ( х ) принимает каждое своё значение у только при одном значении х, то эту функцию называют обратимой.
Пусть у = f(x) – обратимая функция. Тогда каждому у из множества значений функции соответствует одно определённое число х из области её определения, такое, что f(x) = y. Это соответствие определяет функцию х от у, которую обозначим х = g(y). Поменяем местами х и у: у = g(x).
Функцию у = g(x) называют обратной к функции у = f(x).
Взаимообратные функции

Дано:
Найти функцию, обратную данной у = f -1(x).
Решение:
Ответ:

х
х
у
у
0
0
2
2
D(у)=(-∞;2)∪(2;+∞)
Е(у)=(-∞;0)∪(0;+∞)
2. Е(у)=(-∞;2)∪(2;+∞)
D(у)=(-∞;0)∪(0;+∞)

Свойства обратных функций
Область определения обратной функции
f -1 совпадает с множеством значений исходной f, а множество значений обратной функции
f -1 совпадает с областью определения исходной функции f: D(f -1) = E(f), E(f -1) = D(f).
Монотонная функция является обратимой:
если функция f возрастает, то обратная к ней функция f -1 также возрастает;
если функция f убывает, то обратная к ней функция
f -1 также убывает.

3. Если функция имеет обратную, то график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой у = х.
х
у
0
(х0;у0)
х0
у0
(у0;х0)
у = х

у
х
х
у
0
0
3
3
-2
-2
у=f(x)
у=g(x)
y=x2,х<0
D(f)=R
E(f)=R
возрастающая
D(g)=R
E(g)=R
возрастающая
D(y)=(-∞;0]
E(y)=[0;+∞)
убывающая
D(y)=[0;+∞)
E(y)=(-∞;0]
убывающая