Основные правила дифференцирования

Находим приращение функции
Δy=f(x+Δx)-f(x)
2
3
Составляем отношение:
4
Находим

ПРИМЕР.
Найдем производную функции
Дадим аргументу х приращение Δх и
найдем значение функции y+Δy:
1
2
Находим приращение функции

3
Составляем отношение

Находим
4
Полученный результат является частным случаем производной от степенной функции
Можно показать, что в общем случае

производная степенной
функции

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
1
Производная постоянной величины равна 0:
2
Производная аргумента равна 1:

3
Производная алгебраической суммы (разности) конечного числа дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть u=u(x) и v=v(x) -дифференцируемые функции.
Найдем производную функции y=u + v.
Дадим аргументу х приращение Δх, не равное 0, тогда функции получат значения u+Δu, v+Δv.

Находим приращение функции
Составляем отношение
Находим предел этого отношения:

4
Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений производной первого сомножителя на второй и производной второго сомножителя на первый:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть u=u(x) и v=v(x) -дифференцируемые функции.
Найдем производную функции y=uv.
Дадим аргументу х приращение Δх, не равное 0, тогда функции получат значения u+Δu, v+Δv.

Находим приращение функции
Составляем отношение

Находим предел этого отношения:
Имеем по определению производной:

Следствие 1.
Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
Следствие2.
Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные:

5
Производная частного двух дифференцируемых функций находится по формуле:

ПРИМЕРЫ.
1
Найти производную функции
и вычислить ее значение в точке х=1.

Решение.
Находим значение производной в точке х=1:

2
Найти производную функции
и вычислить ее значение в точке х=1.

Решение.
Находим значение производной в точке х=1:

3
Найти производную функции
и вычислить ее значение в точке х=1.