Сканирующая туннельная микроскопия. Определение формы нанокластеров. Фрактальная размерность

Одним из способов описания нерегулярной структуры физических объектов является определение фрактальной размерности их границы
Согласно Мандельброту, фракталом называется структура, в которой один и тот же фрагмент повторяется при любом уменьшении масштаба. Существуют различные формулировки размерности Хаусдорфа-Безиковича, характеризующей фракталы. В частности, фрактальную размерность D множества можно определить как критическое значение показателя d в выражении меры множества Md, при котором она изменяет свое значение с нуля на бесконечность:
Мерой кривой является ее длина L, которая определяется как предел произведения числа N прямолинейных отрезков, умещающихся на кривой, на длину такого отрезка δ при ее стремлении к нулю. Для фрактальной размерности следует соотношение:

Построение кривой начинается с прямолинейного отрезка единичной длины. Этот исходный отрезок может быть заменен каким-нибудь многоугольником, например, равносторонним треугольником, квадратом. Построение кривой Кох продолжается заменой каждого звена образующим элементом. В результате такой замены для триадной кривой Кох получается: первое поколение — кривая из N=4 прямолинейных звеньев, каждое длиной δ=1/3. Следующее поколение получается при замене каждого прямолинейного звена уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения состоит из отрезков длиной каждый, с фрактальной размерностью
Кривая Коха- один из стандартных примеров фрактальной кривой.
.

Основные алгоритмы нахождения фрактальной размерности:
алгоритм Ричардсона (измерение длины береговой линии)
Алгоритм Ричардсона основан на измерении периметра (границы) исследуемого объекта L линейкой длины δ. Изменяя длину линейки δ, получаем серию значений периметра L(δ). По мере уменьшения значения δ измеренная длина границы фрактального объекта увеличивается, поскольку становится возможным измерить более мелкие детали границы. Строя в двойном логарифмическом масштабе ln(L) как функцию ln(δ) и аппроксимируя ее линейной зависимостью, из тангенса угла наклона m находим значение фрактальной размерности границы объекта D=1-m, что следует из непосредственного определения фрактальной размерности:
Данный алгоритм применим для анализа изображения единичного объекта с развитой структурой границы. Поскольку впервые он был применен для измерения длины береговой линии побережья Норвегии, то он также называется алгоритмом «измерения береговой линии».
Алгоритм озер основан на определении соотношения между площадью S и периметром p исследуемого объекта. В общем случае это соотношение представляется в виде:
алгоритм озер (измерение площади и периметра объектов)
где μ(D) – величина, определяющаяся формой объекта, ν=2/D – показатель, D - фрактальная размерность границы. Построение зависимости ln(S) от ln(p) позволяет получить значение размерности исследуемых кластеров. В случае гладкой границы исследуемых объектов D=1 (S~p2). Существенным отличием данного алгоритма от алгоритма Ричардсона является то, что его невозможно использовать для определения фрактальной размерности единичного объекта.

Примеры нанокластеров металла фрактальной формы
В работе [Hwang R.Q., Schröder J., Günter G., Behm R.J. Fractal growth of two-dimensional islands: Au on Ru(0001) // Phys. Rev. Lettr., 1991, v. 67, 23, pp. 3279-3282.] исследовались in situ методом СТМ начальные стадии роста Au на поверхности Ru(0001) при ТО с субмонослойными покрытиями. Наблюдалось образование 2D дендритных кластеров с размером d~0.01÷0.3 мкм и фрактальной размерностью D=1.72±0.07, что указывает на механизм ОДА. Образование наблюдаемых структур объясняется различием диффузии одиночных атомов по поверхности подложки и краевой диффузии атомов по периметру кластера. Термодинамическая неустойчивость таких структур проявляется при отжиге при температуре 650 К, который приводит к превращению дендритов в компактные кластеры.