Соотношения между сторонами и углами в треугольнике

С
О
М
К
3
2
1
Угол 2 – внешний угол треугольника СОК при вершине К

Соотношения между сторонами
и углами треугольника
В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол;
2) против большего угла лежит большая сторона.
ТЕОРЕМА.
В
С
А
Дано: ΔАВС, АВ > АС
Доказать: ےС > ےВ
Д
На стороне АВ отложим отрезок АД, равный АС.
Так как АД < АВ, то точка Д лежит между точками А и В, луч СД проходит между сторонами угла АСВ, значит угол АСД– часть угла АСВ.
Проведем отрезок СД.
1
2
Δ АДС –равнобедренный
Угол 2 – внешний угол треугольника ВДС при вершине Д

Соотношения между сторонами
и углами треугольника
В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол;
2) против большего угла лежит большая сторона.
ТЕОРЕМА.
В
С
А
В обоих случаях получили противоречие с условием теоремы,
значит наше предположение неверно. Следовательно, АВ >АС

Соотношения между сторонами
и углами треугольника
В прямоугольном треугольнике
гипотенуза больше катета
СЛЕДСТВИЕ 1.
В
С
А
Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный
СЛЕДСТВИЕ 2. (признак равнобедренного треугольника)
В
А
С
Почему ?
Почему ?

Неравенство треугольника
ТЕОРЕМА.
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон
С
А
В
Д
На продолжении стороны АС отложим отрезок СД, равный ВС
1
2
Рассмотрим треугольник АВД

Неравенство треугольника
№ 251. Докажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон
С
А
В

Среди данных треугольников найди не существующие:
А
В
С
М
Р
К
Р
С
О
G
Y
R
X
Z
A
W
V
N
E
T
F
3
4
5
15
9
5
7
9
2
3
2
4
7
12
6
8
5
11
18
13
6

№ 238. Доказать, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны.
А
В
С
К
Поэтому один из треугольников АВК и СВК остроугольный, другой- тупоугольный, либо они оба прямоугольные.
2 случай: ΔСВК-прямоугольный
1 случай: ΔСВК -тупоугольный
1
2
Один из них острый, другой – прямой, либо они оба прямые.

№ 239. Доказать, что в треугольнике медиана не меньше высоты, прове-денной из той же вершины.
А
В
С
М(Н)
В
С
М
А
Н
1 случай
2 случай
ВМ=ВН (Почему?)
ВМ>ВН (Почему?)

№ 240. В равнобедренном треугольнике АВС с осно-ванием АС биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Доказать, что Δ АОС - равнобедренный
А
В
С
М
1
2
К
О
3
4

№ 241. Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника АВС, пересекает боковые стороны АВ и АС в точках М и К. Докажите, что ΔАМК - равнобедренный
А
В
С
К
1
2
М

№ 242. Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна третьей стороне треугольника, то треугольник - равнобедренный
А
В
С
К
1
2
М
3
4

№ 243. Через вершину С треугольника АВС проведена прямая, параллельная его биссектрисе АК и пересекающая прямую АВ в точке Д. Докажите, что АС = АД.
А
В
С
1
2
3
4
Д
К

№ 244. Отрезок АД – биссектриса треугольника АВС. Через точку Д проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сторону АВ в точке Е. Докажите, что Δ АДЕ - равнобедренный.
А
В
С
1
2
3
4
Е
Д

№ 245. Через точку пересечения биссектрис ВB1 и СC1 треугольника АВС проведена прямая, параллельная прямой ВС и пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках М и N. Докажите, что MN=BM + CN.
А
В
С
1
2
3
4
C1
M
B1
N
5
6
O

№ 246. На рисунке ВО и СО – биссектрисы углов В и С треугольника АВС. OE || AB, OD||AC. Доказать, что периметр треугольника ЕDО равен длине отрезка ВС.
А
В
С
1
2
3
4
D
Е
5
6
O