Теория погрешностей

Содержание

Слайд 2

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Рейтинг

Слайд 3

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Дополнительно:
Краевая задача 10
Контрольная работа №1 6
Контрольная работа №2 8
Контрольная работа №3 10
Критерии оценки:
5 > 93
4 > 85
3 <= 85

Слайд 4

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Список литературы

1. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в

примерах и задачах [Электронный ресурс]: учеб. пособие. —

СПб,; М.; Краснодар: Лань, 2015. – 448 с. [Электр. ресурс]:

ЭБС ЛАНЬ. – URL: — Режим доступа:

http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=65043 .

2. Вержбицкий В.М. Основы численных методов : Учебник

для вузов / В. М. Вержбицкий. - 2-е изд., перераб. - М. :

Высшая школа, 2005. - 847 с.

Слайд 5

№1

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

№1 В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь
А Я М А Т Е М А Т И К А

Слайд 6

Специфика вычислительной математики

Вычислительная математика имеет дело не только с непрерывными, но и

Специфика вычислительной математики Вычислительная математика имеет дело не только с непрерывными, но
с дискретными объектами → погрешность метода;

Погрешность вычислений в связи с ошибками округления;

Имеет значение обусловленность задач, т.е. чувствительность решения к малым изменениям входных данных;

Выбор вычислительного алгоритма, вообще говоря, влияет на результат вычислений;

Важная черта численного метода – экономичность, т.е. требование минимизации числа операций.

Слайд 7

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1
Сложные вычислительные задачи, возникающие при исследовании физических, технических и иных проблем, можно разбить на ряд элементарных — таких, как вычисление интеграла, решение дифференциального уравнения и т.п.
Посмотрим, как решается любая реальная задача, например, нахождение светового потока конструируемой лампы. Одним из способов является эксперимент. Создадим лампу и измерим интересующую нас характеристику. Если характеристика оказалась неудачной, то изменим проект, сделаем новую лампу и т.д., пока не получим желаемые параметры. Ясно, что это слишком медленный и дорогой способ. Другой способ — вычислительный эксперимент.

Слайд 8

Схема вычислительного эксперимента

№1

В Ы Ч И С Л И Т Е

Схема вычислительного эксперимента №1 В Ы Ч И С Л И Т
Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Слайд 9

Колебание математического маятника

№1

ИСТОЧНИКИ ПОГРЕШНОСТИ
1. Погрешность математической модели.
Трение зависит от скорости не

Колебание математического маятника №1 ИСТОЧНИКИ ПОГРЕШНОСТИ 1. Погрешность математической модели. Трение зависит
совсем
линейно.
2. Неточность задания исходных данных
(g, l, …).
3. Погрешность численного метода –
дифференциальное уравнение решаем,
используя численный метод.
4. Вычислительная погрешность, связан-
ная с конечной разрядной сеткой.

№1

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Слайд 10

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Иллюстрация понятия вычислительной погрешности

Вычисление синуса с помощью разложения в ряд Тейлора

Ряд сходится для любого значения x

Напишем программу для вычисления значения синуса при:
X1 = π / 6 ≈ 0.52366
X2 = 12π + π / 6 ≈ 38.22277

Слайд 11

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

#define EPS 1.e-8
#define X 0.52366
...
int i, k = 0;
double curr_sum = 0.0, curr_sum_old = 0.0, fact;
do {
fact = 1.0;
for ( i = 1; i<= 2*k+1; i++ )
fact *= i;
curr_sum_old = curr_sum;
curr_sum += pow( -1, k) * pow( X, 2*k+1 ) / fact;
k++;
} while ( fabs( curr_sum - curr_sum_old ) > EPS );

Получаем результат:

Для X1 = 0.52366: 0.500053…

Для X2 = 38.22277: 1.165079…

Слайд 12

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

| ak | ~ 1015
Δ| ak | ~ 0.1

Для | X | < 1: | ak |
монотонно убывают

Для | X | > 1: | ak | сначала возрастают, а затем убывают

Слайд 13

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Иллюстрация влияния выбора метода вычисления

Вычисление

может быть представлено как сумма сходящегося

бесконечного ряда

. Применим ряд для

При расчете с 5 знаками последовательно получим следующие числа:

Мы ограничиваемся при суммировании 25 членами ряда, так как после-дующие слагаемые уже не меняют сумму. Удовлетворительный ли ответ

получен? Истинный результат

так что вычисление

привело к ответу, не имеющему верных цифр.

Проблема таится в пятизначной арифметике и, вследствие этого, ошибках округления. Но увеличение разрядности не сильно поможет,

да и обходится очень дорого. Лучше вычислить сумму для

и затем взять обратное число:

Слайд 14

Классификация погрешности

В Ы Ч И С Л И Т Е Л

Классификация погрешности В Ы Ч И С Л И Т Е Л
Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Слайд 15

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Абсолютные и относительные погрешности

Если

— точное значение некоторой величины, а

Если

— точное значение некоторой величины, а

Если

— известное приближение к нему, то абсолютной

погрешностью приближенного значения

называют

некоторую величину

про которую известно, что

Пример:

Слайд 16

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Относительной погрешностью приближенного

значения

называют отношение его абсолютной

погрешности

к абсолютной величине числа

Пример:

Слайд 17

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Абсолютная погрешность менее информативна, чем
относительная. Так, если точное значение некоторой
Величины равно 0.00006, а приближенное значение
равно 0.00005, то абсолютная ошибка составляет всего
10-5 , в то время как относительная ошибка составляет
0.2, или 20%. С другой стороны, если точное значение
равно 100500, а приближенное значение равно 100000,
то абсолютная ошибка составляет 500, хотя относи-
тельная ошибка составляет всего 0.005, или 0.5%.

Слайд 18

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Значащими цифрами числа называются все цифры
в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Любое
число можно представить в виде:

где

— первая значащая цифра числа;

— основание системы счисления;

Пример:

Слайд 19

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Значащая цифра

считается верной, если имеет место

неравенство:

в противном

случае

— сомнительная цифра.

В этом случае говорят, что число

имеет

верных

знаков в узком смысле.

Если

то число

имеет

верных знаков в широком

смысле.

Чаще всего

Слайд 20

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Относительная погрешность числа, содержащего

верных знаков, определяется соотношением:

На практике обычно используется понятие числа
С верными знаками в узком смысле.
Тогда можно сказать, что абсолютная погрешность числа с верными знаками равна половине последнего разряда.

Слайд 21

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Пример 1.

Приближенное число

получено с погрешностью

Определить число верных знаков в его

Согласно определению должно выполняться
неравенство

— степень первой

значащей цифры в записи числа, т.е.

тогда

цифры 0.39, а две следующие являются сомнительными.

т.е. число имеет две верные

записи.

Слайд 22

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Пример 2.

Определить абсолютную и относительную погрешность

приближенного числа

если в его

цифры :

записи только верные

Решение:

Слайд 23

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Основная задача теории погрешности заключается в следующем: по известным погрешностям некоторой системы параметров требуется определить погрешность функции этих параметров.

Определение погрешности функции по известным погрешностям аргументов

Слайд 24

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Для начала рассмотрим случай вычисления функции
одного аргумента

Абсолютная погрешность вычисления функции равна
произведению абсолютной величины ее производной
на абсолютную погрешность ее аргумента:

Слайд 25

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Рассмотрим относительную погрешность вычисления
функции одной переменной. Учитывая, что

Так как

то

можно записать так:

Слайд 26

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Относительная погрешность степени равна относительной
погрешности основания, умноженной на абсолютную
величину показателя степени.

Абсолютная погрешность равна

Для основных элементарных функций получаем
следующие правила

Степенная функция

Слайд 27

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Показательная функция

Абсолютная погрешность показательной функции равна

Относительная погрешность показательной функции равна

Для функции

получаем:

Логарифмическая функция

Абсолютная погрешность натурального логарифма числа
равна относительной погрешности самого числа:

Слайд 28

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Тригонометрические функции.

Абсолютные погрешности синуса и косинуса не
превосходят абсолютных погрешностей аргумента:

Абсолютная погрешность тангенса и котангенса всегда
больше абсолютной погрешности аргумента:

Слайд 29

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

№1

Определение погрешности функции многих переменных
по известным погрешностям аргументов

абсолютную погрешность можно вычислить

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА №1 Определение погрешности функции многих переменных по известным погрешностям аргументов
по формуле:

Для непрерывно дифференцируемой функции

где

- абсолютные погрешности аргументов

Слайд 30

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Относительная погрешность вычисляется по формуле:

Учитывая, что

получим

Слайд 31

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Пример 1.

Пусть

Абсолютная погрешность суммы равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.

Относительная погрешность суммы:

Слайд 32

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Попробуем оценить границы относительной погрешности

суммы. Выберем из всех относительных погрешностей

наибольшую и тогда можно записать:

Таким образом, предельная относительная погрешность
суммы положительных чисел не превосходит максимальной
относительной погрешности слагаемых.

Слайд 33

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Пример 2.

Пусть

Абсолютная погрешность разности равна сумме абсолютных погрешностей аргументов.

Относительная погрешность разности:

Слайд 34

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Пример.

Пусть

Тогда

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

При вычитании близких по значению чисел относительная
погрешность может существенно возрастать…

Слайд 35

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Абсолютная и относительная погрешность вычисления произведения и частного приближенных чисел

При умножении и делении приближенных чисел складываются их относительные погрешности, т.е. относительная погрешность выражения

оценивается величиной

Абсолютная погрешность в этом случае вычисляется

через относительную погрешность:

Слайд 36

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Определение допустимой погрешности
аргументов по допустимой погрешности функций

Эта задача имеет однозначное решение только для

функции одной переменной

: если эта функция

дифференцируема и

, то

Для функции нескольких переменных

решается только при наличии дополнительных
ограничений. Если значение одного из аргументов трудно измерить с высокой точностью других аргументов, то погрешность именно этого аргумента надо согласовать с требуемой погрешностью функции.

Слайд 37

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Если значения всех аргументов можно одинаково легко
определить с любой точностью, то обычно применяют
принцип равных влияний, считая, что в формуле

все слагаемые равны между собой;

это дает следующую формулу:

Слайд 38

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Пример.

Найти допустимую абсолютную погрешность приближенных

величин

, для которых возможно найти

значение функции

с точностью до двух

десятичных знаков после запятой.

Решение.
Находим

Слайд 39

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

По условию

. Тогда согласно принципу равных

влияний по формуле

находим

Слайд 40

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Слайд 41

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н
А Я М А Т Е М А Т И К А

№1

Имя файла: Теория-погрешностей.pptx
Количество просмотров: 108
Количество скачиваний: 0