Задачи на вычисление площадей и объемов тел вращения и многогранников

Глава 2
2.1 Конус
2.2 Цилиндр
2.3 Шар
2.4 Призма
2.5 Пирамида
Заключение
Оглавление
Глава 1
1.1 Многогранники
Глава 3
1.2 Тела вращения
1.3 Виды фигур
3.1 Задачи про конус
3.2 Задачи про цилиндр
3.3 Задачи про шар
3.4 Задачи про призму
3.5 Задачи про пирамиду
Источники

Глава 1: Многогранники и тела вращения
Для начала стоит разобраться что же за фигура многогранник:
Многогранник — это геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Эти многоугольники называются гранями, линии их пересечения – ребрами, а угол, образованный гранями, сходящимися в одной точке – вершине, называется многогранным углом
1.1 Многогранники

1.2 Тела вращения
Для полного понимания картины, следует узнать что такое тела вращения:
Тела вращения — фигуры, ограниченные поверхностями, которые получаются в результате вращения какой-либо линии вокруг неподвижной оси. Линия, которая при своем движении образует поверхность, называется образующей, а линия, по которой она перемещается – направляющей.

1.3 Виды фигур
Существует огромное множество как многогранников, так и тел вращения, но мы рассмотрим несколько наиболее часто встречающихся, это:
Конус
Цилиндр
Шар
Призма
Пирамида
Далее мы рассмотрим
Каждую из них по отдельности и более подробно.

2.1 Конус
Объем конуса равен:
R – радиус основания конуса,
h – его высота.
Формула для вычисления объема конуса в точности совпадает с аналогичной формулой для пирамиды, так как конус – это, по сути, и есть пирамида, только в основании лежит «бесконечноугольник» – окружность.

2.2 Цилиндр
Все что вам необходимо сделать, что бы вычислить объём цилиндра, это найти его высоту и радиус основания и подставить их в формулу:
V=πr2h
Где:
r — радиус основания цилиндра,
h — высота цилиндра
πr2 — это формула площади круга, что в данном случае — площадь основания. Поэтому формулу объема цилиндра можно записать через площадь основания и высоту:
V=Sh

2.3 Шар
Объём сферы можно вычислить через радиус этой самой сферы:
В этой формуле:
V — это объем, который мы ищем
R — радиус шара
π — число Пи, которое равно 3,1415

2.4 Призма
Формула для вычисления объёма призмы:
V=Sh
Где:
S – площадь основания
h – высота между основаниями Которая получается при опускании перпендикуляра из любой точки основания на плоскость, в которой лежит другое основание этой призмы.

2.5 Пирамида
Формула для нахождения объема пирамиды через площадь основания и высоту:
Где:
S — площадь основания
h — высота пирамиды.

Конус. Задача 1. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на π

Цилиндр. Задача 1. Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на π .
Решение.
Площадь боковой поверхности цилиндра
S = 2πRH , поэтому
S = 2π * 2 * 3 =12π.
Ответ: 12

шар Задача 1. Объем шара равен 288π . Найдите площадь его поверхности, деленную на π .
Ответ: 144

Призма. Задача 1. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

Пирамида Задача 1. Найти площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5.
Решение.
Пусть ABCDE – данная пирамида. Площадь основания 12 пирамиды равна: Sосн. = 62 = 36
Остаётся найти площадь боковой поверхности. Проведём высоту ЕМ боковой грани пирамиды. Треугольник ВЕС равнобедренный; значит. ЕМ является также его медианой, и потому МС = 3.

Заключение
Знания полученные сегодня действительно можно считать полезными, поскольку вопросы связанные с нахождением объёма и площади различных тел являются актуальными во все времена, и их можно применить не только к пределах математического класса, но и на практике, в повседневной жизни.