Тождественные преобразования

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе.
М.И. Калинин

Основные тождественные преобразования.
Перестановка местами слагаемых, множителей.
Раскрытие скобок.
Группировка слагаемых, множителей.
Замена разностей суммами, частных произведениями и обратно.
Выполнение действий с числами
Вынесение за скобки общего множителя.
Приведение подобных слагаемых.
Замена чисел и выражений тождественно равными им выражениями.
Прибавление и вычитание одного и того же числа.

Рассмотрим задачи на вычисление значений выражений.
Пример №1:
Вычислите произведение:
(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1).
Решение:
Заметим, что значение первой скобки (2 + 1)=3, если умножить первую скобку на выражение (2-1), то получится формула сокращенного умножения разность квадратов
и значение будет равно 3.
Итак, умножим наше выражение на (2 – 1) и применим формулу разности квадратов 6 раз. Получим:

(2 -1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)
(216 + 1)(232 + 1) = (22 – 1)(22 + 1)(24 + 1)
(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (24 – 1)(24 + 1)
(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (28 – 1)(28 + 1)
(216 + 1)(232 + 1) = (216 – 1)(216 + 1)(232 + 1) = (232 – 1)(232 + 1) = (264 – 1).
Ответ: (264 – 1).

Пример №2:
Вычислите произведение:
Р =
Решение:
Упростим это выражение:
Р = =

Полученное произведение можно сократить на
2 • З2 • 42 • 52 (n — 1)2 • n.
После этого будем иметь:
Р =
Ответ:

Пример №3:
Упростите сумму:
1 • 1! + 2 • 2! + 3 • 3! + ... + n• n!
Решение:
Вспомним, что такое факториал.
Факториал числа – это произведение натуральных чисел от 1 до самого числа (включая данное число). Обозначается факториал (!).
Например: 3! = 1∙2∙3=6
6! =1∙2∙3∙4∙5∙6=720
Запомни факториал 0 и 1 равен 1 (0!=1 и 1!=1).

Итак, прибавим к данной сумме 1 и используем тождество K!+KK! = (K+1)!, а затем вычтем 1.
Получим:
1+1∙1!+2∙2!+3∙3!+…+n∙n! =
(1+1)!+2∙2!+3∙3!+…+ n∙n! =
2!+2∙2!+3∙3!+…+ n∙n! =
(2+1)!+3∙3!+…+ n∙n!=
3!+3∙3!+…+ n∙n!=
(1+3)!+…+ n∙n!=
4!+…+ n∙n!=(n+1)!
Вычитая 1 получим: (n+1)! – 1.
Ответ: (n+1)! – 1.

Пример №4:
Вычислите сумму:
S = .
Решение:
Воспользуемся тождеством
Получим:
Ответ:

Пример №5:
Вычислите сумму:
S=
Решение:
Приведем сумму к общему знаменателю (a-b)(b-c)(c-a):
S= =
Ответ: 0.

Пример №6:
Вычислите сумму:
Решение:
Приведем сумму к общему знаменателю (a-b)(b-c)(c-a):
Ответ: 0.

Пример №7:
Вычислите сумму:
Решение:
Заметим, что данное выражение имеет смысл при a≠b, a≠с, b≠c. Будем проводить преобразования для таких значений переменных. Приведя все дроби к наименьшему общему знаменателю, получим:

Заметив, что b-c=(a-c)-(a-b) , преобразуем числитель следующим образом:
a2(b-c) – b2(a-c)+c2(a-b)=a2(a-c) – a2(a-b) – b2(a-c)+c2(a-b) =(a-c)(a-b)(a+b-c-a) =
(a-b)(b-c)(a-c).
Таким образом, получили:
= 1
Ответ: 1.

Пример №8:
Вычислите сумму:
1 + 11 + 111 + … + 111...1 (n слагаемых).
Решение:
Заметим, что 1=(10-1)/9, 11=(100-1)/9, 111=
(1000-1)/9,...11...1(n единиц) =(10n-1)/9,
Тогда искомая сумма
S = 1/9(10+100+1000+...+10n - n) = 1/9(Sn - n), где Sn - сумма геометрической прогрессии, b1=10, q=10.
Sn = (10n+1-10)/9
S = 1/81 ( 10n+1-9n-10)
Ответ: 1/81 ( 10n+1-9n-10)

Пример №9:
Вычислите сумму:
S=1-2 + 3-4 + - + (-l)n+1∙n.
Решение:
Очевидно, ответ зависит от четности или нечетности n. Поэтому рассмотрим два случая.
Пусть n четно. Тогда:
S = (1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + - + (n - 1) - n) = -1
- 1 - ...- 1 = -

2) Пусть n нечетно. Будем иметь:
S = (1 - 2 + 3 - 4 + …- (n - 1)) + n=
Ответ: если n четно, то S = -n/2; если n нечетно, то S = (n + 1)/2.
Подумайте: нельзя ли два полученных выражения для S объединить в
одной формуле?