Отображение множеств. Диаграммы

«Множество» - это соединение в некое целое M определенных и хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M). ©Георг Кантор
«Множество» - это совокупность объектов, определенная некоторым правилом.
Множество А является подмножеством множества В: А ⊂ В, если все элементы множества А принадлежат множеству В
{все летающие бегемотики} ⊂ {все учащиеся «Ники»}
Пустое множество ∅: множество, в котором нет элементов
Что такое множество?

Приказ командира: брить тех и только тех,
кто не бреется сам.
А = {те и только те, кто не бреется сам}
Вопрос: брадобрей ∈ А?
Другая формулировка парадокса брадобрея
Прилагательное называется рефлексивным, если оно само обладает свойством, которое определяет
Примеры рефлексивных прилагательных: «русский», «трёхсложный»
Примеры нерефлексивных прилагательных: «английский», «четырёхсложный»
Вопрос. Если В ={все рефлексивные прилагательные}, то прилагательное «нерефлексивный» ∈ В или нет?
Вопрос-шутка: «трудновыговариваемый» ∈ В или нет?
Парадокс брадобрея

Способ Кантора: «Наивная теория множеств»
Идея: разрешается работать со множествами, которые «встречаются в природе», а также с теми, которые получаются из них разумными теоретико-множественными операциями
Пример:
А ={ котики}
В ={бегемоты} (но не летающие!)
А ∪ В ={котики и бегемоты}
Пути разрешения парадоксов

Операции над множествами
Объединение множеств
А ∪ В = {все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств А и В}
Пересечение множеств А ∩ В = {все элементы, принадлежащие как А, так и В}
Разность множеств А \ В ={x: x ∈ А, x ∉ В}

Основные тождества теории множеств
Коммутативность объединения и пересечения А ∪ В = В ∪ А; А ∩ В = В ∩ А
Дистрибутивность объединения и пересечения
(А ∪ В) ∪ С = А ∪ (В ∪ С); ( А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С)
Взаимная дистрибутивность объединения и пересечения
(А ∪ В) ∩ С = (А ∩ В) ∪ (В ∩ С); (А ∩ В) ∪ С = (А ∪ В) ∩ (В ∪ С)
Формальное доказательство взаимной дистрибутивности (1-го тождества)
Пусть x ∈ (А ∪ В) ∩ С Тогда x ∈ А ∪ В и x ∈ С
Значит, x принадлежит хотя бы одному из множеств А; В и принадлежит С
Тогда x принадлежит хотя бы одному из множеств А ∩ С; В ∩ С
Значит, x принадлежит правой части тождества
Доказали ли мы формулу?
НЕТ!
В обратную сторону устно.
Геометрическое доказательство:
Принцип двойственности
S \ (А1 ∪ A2) = (S \ A1) ∩ (S \ A2)
S \ (А1 ∩ A2) = (S \ A1) ∪ (S \ A2)

Отображения множеств
Отображение ƒ: А → В - это правило, которое каждому
элементу множества А ставит в соответствие один
и только один элемент множества В
Если ƒ(А) = В , то ƒ называется сюръекцией
Если для x1 , x2 ∈ А, таких что x1 ≠ x2
ƒ(x1 ) ≠ ƒ(x2 ) , то ƒ называется инъекцией
Если ƒ инъекция и сюръекция, то
такое отображение называется биекцией
Множества называются равномощными,
если между ними существует биекция
Теорема: Для всякого множества А множество P(А)
его подмножеств не равномощно самому множеству А
Доказательство: Предложим, ∃ биекция ƒ : А →P(А)
a ∈ А назовём «хорошим», если a ∈ ƒ(а) и «плохим»,
если a ∉ ƒ(а)
Пусть П ⊂ А - множество всех плохих элементов. Так как ƒ- биекция, то ∃ х ∈ А, такой что ƒ(х) = П. х – хороший или плохой?
Если х - хороший, то х ∈ ƒ(х) = П - противоречие
Если х - плохой, то х ∉ ƒ(х) = П ⇒ х - хороший, противоречие
Теорема доказана.

Парадоксы с бесконечностью
Дед Мороз пришел на Новый год к детям с мешком, в котором бесконечно много конфет
Все конфеты занумерованы натуральными числами
В 23:59:00 Дед Мороз подарил конфету №1 детям
В 23:59:30 он дал детям конфеты №2 и №3, но забрал конфету №1
В 23:59:45 он дал детям конфеты№4, №5, №6, №7, но забрал №2 и №3. И так далее.
Сколько конфет у детей в полночь?

Счётность ℚ и несчётность ℝ
Множество А называется счётным, если ∃ биекция ƒ: А →ℕ