Вписанные и описанные многоугольники

Описанные многоугольники
Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной в многоугольник
Теорема 3. В любой треугольник можно вписать окружность. Ее центром будет точка пересечения биссектрис этого треугольника.
Теорема 4. Суммы противоположных сторон четырехугольника, описанного около окружности, равны.

Вписанные и описанные треугольники
Теорема 5. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.
Теорема 7. Радиус r окружности, вписанной в треугольник, выражается формулой , где a, b, c – стороны треугольника S – его площадь.
Теорема 6. Радиус R окружности, описанной около правильного треугольника, выражается формулой , где a, b, c – стороны треугольника S – его площадь.

Упражнение 1
Сторона равностороннего треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Ответ: 1.

Упражнение 2
Сторона равностороннего треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Ответ: 2.

Упражнение 3
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см. Найдите радиус описанной окружности.
Ответ: 5.

Упражнение 4
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 4 и 3, считая от вершины. Найдите периметр треугольника.
Ответ: 20.

Упражнение 5
Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне.
Ответ: 30о.

Упражнение 6
Сторона AB треугольника ABC равна , угол C равен 60о. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Ответ: 1.

Упражнение 7
Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность радиуса 6.
Ответ: 12.

Упражнение 8
Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной .
Ответ: 1.

Упражнение 9
Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см. Угол между диагоналями равен 60о. Найдите радиус описанной окружности.
Ответ: 5.

Упражнение 10
Около окружности радиуса, равного , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанного около этого квадрата.
Ответ: 2.

Упражнение 11
Сторона ромба равна 4, острый угол – 30о. Найдите радиус вписанной окружности.
Ответ: 1.

Упражнение 12
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 2 и 4. Найдите среднюю линию трапеции.
Ответ: 3.

Упражнение 13
Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 20, средняя линия 5 см. Найдите боковую сторону трапеции.
Ответ: 5.

Упражнение 14
Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 100о. Найдите угол C.
Ответ: 80о.

Упражнение 15
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 80о и 60о. Найдите больший из оставшихся углов.
Ответ: 120о.

Упражнение 16
В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 11, CD = 17. Найдите периметр четырехугольника.
Ответ: 56.

Упражнение 17
Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 20, две его стороны равны 4 и 5. Найдите большую из оставшихся сторон.
Ответ: 6.

Упражнение 18
В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 11, BC = 10 и CD = 15. Найдите четвертую сторону четырехугольника.
Ответ: 16.

Упражнение 19
Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса 5?
Ответ: 5.

Упражнение 20
Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен .
Ответ: 3.

Упражнение 21
Сторона AB треугольника ABC равна , радиус описанной окружности равен 1. Найдите угол C.
Ответ: 45о.

Упражнение 22
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2, угол при вершине равен 120о. Найдите диаметр описанной окружности.
Ответ: 4.

Упражнение 23
Сторона BC треугольника ABC равна , угол A равен 45о. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Ответ: 2.

Упражнение 24
Сторона AB треугольника ABC равна 10, радиус описанной окружности равен 10. Найдите угол C.
Ответ: 150о.

Упражнение 25
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности.
Ответ: 25.

Упражнение 26
В треугольнике ABC AC = 8, BC = 6, угол C равен 90о. Найдите радиус вписанной окружности.
Ответ: 2.

Упражнение 27
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 10, основание равно 12. Найдите радиус вписанной окружности.
Ответ: 3.

Упражнение 28
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно 6. Найдите радиус описанной окружности.
Ответ: 5.

Упражнение 29
Сторона AB треугольника ABC равна 10. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности, если противолежащий этой стороне угол C равен 150о.
Ответ: 10.

Упражнение 30
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 36. Найдите ее среднюю линию.
Ответ: 9.

Упражнение 31
В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, угол A равен 75о, угол B равен 90о. Найдите разность двух других углов.
Ответ: 15о.

Упражнение 32
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60о, большее основание равно 10. Найдите радиус описанной окружности.
Ответ: 5.

Упражнение 33
Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как 2:3:4. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность.
Ответ: 90о.

Упражнение 34
Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6, высота равна 7. Найдите радиус описанной окружности.
Ответ: 5.

Упражнение 35
Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 20, ее большая боковая сторона равна 6. Найдите радиус окружности.
Ответ: 2.

Упражнение 36
Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 24.
Ответ: 9.

Упражнение 37
Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 72. Найдите n.
Ответ: 10.

Упражнение 38
Найдите диаметр окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .
Ответ: 3.

Упражнение 39
Около окружности радиуса, равного , описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанного около этого шестиугольника.
Ответ: 2.

Упражнение 40
К окружности, вписанной в треугольник АВС, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 3, 4, 5. Найдите периметр данного треугольника.
Ответ: 12.

Упражнение 41
В треугольнике ABC AC = 8, BC = 6, угол C равен 90о. Найдите радиус описанной окружности.
Ответ: 5.

Упражнение 42
В равнобедренном треугольнике боковые стороны делятся точками касания вписанной в треугольник окружности в отношении 7:5, считая от вершины, противоположной основанию. Найдите периметр треугольника, если его основание равно 10.
Ответ: 34.

Упражнение 43
Угол B четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 70о. Найдите угол D.
Ответ: 110о.

Упражнение 44
Меньшая сторона прямоугольника равна 36. Один из углов, образованных диагоналями 120о. Найдите диаметр описанной окружности.
Ответ: 72.

Упражнение 45
Периметр правильного шестиугольника равен 36. Найдите диаметр описанной окружности.
Ответ: 12.

Упражнение 46
Три последовательные стороны четырехугольника, в который можно вписать окружность, равны 6 см, 8 см и 9 см. Найдите четвертую сторону.
Ответ: 7.

Упражнение 47
Сторона ромба равна 8 см, острый угол – 30о. Найдите радиус вписанной окружности.
Ответ: 2.

Упражнение 48
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 4 и 6. Найдите среднюю линию трапеции.
Ответ: 5.

Упражнение 49
Основания равнобедренной трапеции равны 16 и 12, радиус описанной окружности равен 10. Найдите высоту трапеции.
Ответ: 14.