Численные методы решения уравнений

методы
Метод касательных
Метод половинногоМетод половинного деления
Метод хорд
Метод комбинированный
Метод итераций

Пусть корень ξ уравнения f (x) отделён на отрезке [a, b], причём b – a > ε
Будем считать, что функция:
1)Непрерывна и монотонна на отрезке [a, b]
2)f (a) x f (b) < 0
Итак разделим отрезок [a, b] пополам, середина отрезка c = (a + b) / 2
Отрезок [a, b] разделен на два отрезка [a, c] и [c, b], длина каждого = (b – a) / 2

x
y
a
b
c
C = (a + b) / 2
a1
b1
c1
a2
b2
c2
b-a>ε
[a; c] и [c; b], длина отрезков (b - a) / 2
[an; bn ], длина (b-a)/2n
(b-a)/2n <=ε
Приближенное значение корня
Cn = (an + bn) / 2 с погрешностью,
не превышающей (b-a)/2n+1
0
ξ

a,b, ε
f(a)*f(c)>0
a:=c
x:=c ± ε
ε:=(b-a)/2
c:=(a+b)/2
b:=c
(b-a)≤ ε
Методы

I тип
II тип

Пусть корень уравнения F (x) = 0 отделен на отрезке [a, b].
Будем считать:
F (x) непрерывна на отрезке [a; b]
F (x) имеет на данном отрезке производные первого и второго порядков, производные сохраняют знак.
F (a) * F (b) < 0

y
x
0
a
b
x1
x2
x3
ξ
A
B

y
x
0
a
b
x1
ξ
A
C
B

Треугольник AaX1 подобен треугольнику ABC
X1 – a F (a)
b – a F (a) – F (b)

y
x
0
a
b
x2
ξ
x1
x3
A
B

y
x
0
a
b
x1
ξ
A
C
B

Методы

I тип
II тип

Пусть корень ξ уравнения F (x) = 0 отделен на отрезке [a, b].
Будем считать:
F (x) непрерывна на отрезке [a; b]
F (x) имеет на данном отрезке производные первого и второго порядков, производные сохраняют знак.
F (a) * F (b) < 0

y
x
0
a = ξ0
b
ξ1
ξ2
A
B
F’ < 0
F’’ > 0
F(a) > 0
ξ
ξ3

Уравнение касательной в точке A (a, F (a)) :
y – F (a) = F’ (a)*(x – a).
Полагая y = 0, x = ξ 1 , получим

y
x
0
a
b = ξ0
ξ1
ξ2
A
B
F’ > 0
F’’ > 0
F(b) > 0
ξ
ξ3

Если касательную к кривой провести в точке B (в правом конце), то получим

Методы
x0 = a II тип
x0 = b I тип

I тип
Хорды
b
a
Касательные
= (a F (b) – b F (a)) /
(F (b) – F (a))
= b – F (b) / F’ (b)

II тип
Хорды
b
a
Касательные
= (b F (a) – a F (b)) /
(F (a) – F (b))
= a – F (a) / F’ (a)
Методы