Uravneniya-n-oy-stepeni.ppt

*
Большинство жизненных задач решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду.
Толстой Л.Н.

*
рассмотреть основные виды
уравнений
познакомиться с различными
методами решения уравнений
Задачи:

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, - что следуя этому методу, мы достигнем цели.
Лейбниц
*

Методы решения уравнений
разложение многочлена на множители
метод введения новой неизвестной
комбинирование различных методов
метод неопределенных коэффициентов

Разложение многочлена на множители
Любой многочлен может быть представлен в виде произведения. Самые известные методы разложения многочленов это: вынесение общего множителя, применение формул сокращенного умножения, выделение полного квадрата, группировка, разложение квадратного трехчлена на множители по формуле

2x5 -10x4 +14x3-10x2+12х =0
2х (х4 – 5х3 + 7х2 + 6) = 0
х = 0
х4 – 5х3 + 7х2 + 6 = 0
или
(х-2)( х3 - 3х2 + х – 3)=0
(х-2)(х2·(х-3)+(х-3))=0
(х-2)(х-3)(х2 +1)= 0
х – 2 =0 или х – 3 =0 или х2 + 1 = 0
х =2 х =3 корней нет
Ответ:
0,
2,
3

В некоторых случаях путем замены выражения f(x), входящего в многочлен Рп(х), через у можно получить многочлен относительно у, который уже легко разложить на множители. Затем после замены у на f(x) получаем разложение на множители многочлена Рп(х)
Метод введения новой неизвестной

пусть х2 +2х +2 = t
умножим обе части уравнения на 6t(t +1), где t≠0, t≠-1
6t2 – 6 + 6t2 – 7t2 – 7t = 0
5t2 – 7t – 6 = 0
t1=2 t2=-0,6

1) х2 + 2х +2 =2
х2 + 2х = 0
х(х+2)=0
х = 0 или х = - 2
2) х2 +2х + 2 = -0,6
5х2 + 10х + 13 = 0
D = - 169 < 0
корней нет
Ответ:
-2;
0

Метод неопределенных коэффициентов
Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

х4+4х3 - 20х2+21х - 16=0
(x2+px+g)(x2+bx+c)=
х4+х3(p+b)+x2(c+g+pb)+x(pc+gb)+gc
p=-1, b=5, c=-16, g=1.
х4+4х3 - 20х2+21х-16=(x2+px+g)(x2+bx+c)
(х2 - х+1)(х2 + 5х - 16)=0
х2 - х+1= 0 или 2) х2 + 5х - 16=0
D= -3 < 0 D = 89
Корней нет
Ответ:

Виды уравнений
квадратные уравнения
биквадратные уравнения
возвратные уравнения
уравнения вида (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=А
уравнения вида:
(ax2 + bx + c)(ax2 + b1x + c1)=Ax2
уравнения, однородные относительно многочленов

Возвратные уравнения
Алгебраическое уравнение f(x)=0 называется возвратным, если у многочлена в левой его части, представленного в каноническом виде, равны коэффициенты членов, равноудаленных от его концов: первого и последнего, второго и предпоследнего и т.д.
axn + bxn-1 + cxn-2+…
+ cx2 + bx + a=0
общий вид :

aхn+bxn-1+...+bx +a=0
ax4+bx3+cx2+bx+a=0
at2+bt+c-2a=0
Рассмотрим алгоритм решения возвратных уравнений четной степени

2x5+5x4-13x3-13x2 +5x+2=0
(x-1)(2x4+3x3-16x2+3x+2)=0
x-1=0 или 2x4+3x3-16x2+3x+2=0
2t2+3t-20=0

2x5+5x4-13x3-13x2 +5x+2=0
х+1=0 или 2x4+3x3-16x2+3x+2=0
1)2x2+5x+2=0
x1=2, x2=0,5
2) x2+4x+1=0
x=-1
Ответ:
0,5;
2;

(х2-х+1)4- 6х2(х2-х+1)2= -5х2
Пусть (х2-х+1)2 = а; х2 = b
a2 – 6ab + 5b2= 0
a(a-b) – 5b(a-b)=0
(a-b)(a-5b)=0
a=b или a=5b
1) (х2-х+1)2 = х2 2) (х2-х+1)2 = 5х2
х2-х+1= х