Определение и признак перпендикулярности плоскостей

Определение и признак параллельности прямой и
плоскости
Постройте плоскость, параллельную данной прямой
и проходящую через
а) заданную точку;
б) другую данную прямую,
Пусть а || b, а || α, b имеет с плоскостью α общую точку.
Докажите, что прямая b лежит в плоскости α

Определение.
Плоскости α и β называются перпендикулярными,
если существует плоскость γ,
перпендикулярная их линии пересечения и
пересекающая их по взаимно перпендикулярным прямым.
α⊥β ⇔ ∃γ | α  β = c⊥γ; γ  α = a; γ  β = b; a⊥b

Сколько таких плоскостей γ существует?
Что необходимо доказать,
чтобы это определение было корректным?
Докажем,
что перпендикулярность α и β не зависит от выбора γ
Пусть ∃ε | c⊥ε; ε  α = a’; ε  β = b’
тогда c⊥γ; c⊥ε ⇒ γ || ε
значит a || a’ и b || b’, то есть, a’⊥b’

Укажите пары перпендикулярных плоскостей в
каждой из фигур и обоснуйте.
Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей

.
Теорема. Если плоскость содержит перпендикуляр
к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны
Доказательство.
Пусть а  β = A, тогда α  β = c | A∈c.
2) ∃b⊂β | A∈b и b⊥c.
3) Так как а⊥β, то а⊥с и а⊥b.
4) ∃γ | a⊂γ и b⊂γ, причем, с⊥γ (признак перпендикулярности прямой и плоскости).
Таким образом, α⊥β (по определению).
Дано: а⊥β; а⊂α. Доказать: α⊥β.